Esercitazione 6

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Probabilit` a e Statistica per l’Informatica Esercitazione 6 Esercizio 1: Si veda l’esercizio 6.1 allegato (esercizio del prof. Piazza), sulle combinazioni lineari di variabili gaussiane indipendenti. In aggiunta ai punti dell’esercizio, abbiamo calcolato la probabilit` a che la produzione complessiva dei due stabilimenti superi i 5 quintali, ovveroP (X+Y > 5). Poich´ e la distribuzione diX+Y ` eN(3+1 = 4, 0.16+0.04 = 0.20), troviamo P (X +Y > 5) = 1− Φ ( 5− 4√ 0.20 ) = 1− 0.9873 = 0.0127. Osservazione: In alcuni casi conosciamo dai risultati della teoria la distribuzione della somma di due variabili indipendenti X + Y . Calcoliamo ora la densit` a della somma nel caso di due v.a. continue indipendenti qualsiasi. Riconsideriamo il vettore aleatorio dell’Esercizio 5.8, (X,Y ) con densit` a fX,Y (x,y ) =    xe−(x+y) se x> 0,y >0 0 altrove che sappiamo gi` a essere un vettore aleatorio a componenti indipendenti, con marginali fX(x) =xe−xI(0,+∞)(x) e fY (y) =e−yI(0,+∞)(y). Poich´ eX e Y sono indipendenti, abbiamo che fX+Y (a) = ∫ R fX(x)fY (a−x)dx (si veda Esempio pag 90 delle Dispense.) Il prodotto delle densit` a ` e non nullo solo se x> 0 e a−x> 0, cio` e solo se 0<x<a . Dunque, per ogni a> 0, fX+Y (a) = ∫ a 0 xe−xe−(a−x)dx =e−aa2 2 MentrefX+Y (a) = 0 per ogni a≤ 0. In alternativa, ma in modo del tutto equivalente, calcoliamo la funzione di ripartizione di X +Y . Sia a> 0. P (X +Y≤a) = ∫ ∫ D fX,Y (x,y )dxdy dove il dominio di integrazione D ` e D ={(x,y )∈ R2 :x +y≤a} 1 Dunque P (X +Y≤a) = ∫ a 0 ∫ a−x 0 xe−(x+y)dydx = ∫ a 0 xe−x[−e−y]a−x 0 dx = ∫ a 0 xe−x(1−ex−a)dx = ∫ a 0 xe−xdx−e−a ∫ a 0 xdx = 1 −e−a ( 1 +a + a2 2 ) EvidentementeP (X +Y≤a) = 0 se a< 0. Infine fX+Y (a) = [ e−a ( 1 +a + a2 2 ) −e−a(1 +a) ] I(0,+∞)(a) = a2 2e−aI(0,+∞)(a) Teorema centrale del limite…