Esercitazioni complete del corso

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Esercizio 1.3 (Moto circolare). Si consideri un punto libero di muoversi su una traiettoria circolare di raggio R assegnato, con una generica legge oraria ✓(t).R i c a v a r e l e e s p r e s s i o n i d e i v e t t o r i p o s i z i o n e , velocità e accelerazione usando l’approccio cartesiano e i numeri complessi. Soluzione.In coordinate cartesiane, conoscendo✓(t)es a p e n d oc h ei lr a g g i oRèc o s t a n t e ,l ap o s i z i o n e èd a t ad a : !P=(P O)=x(t) !i+y(t) !j=x(✓(t)) !i+y(✓(t)) !j (1) =Rcos✓ !i+Rsin✓ !j (2) La velocità è data direttamente dalla derivata temporale della posizione: !v=d !P dt=˙x(t) !i+˙y(t) !j=dx d✓ d✓ dt !i+dy d✓ d✓ dt !j=vx !i+vy !j (3) = R˙✓sin✓ !i+R˙✓cos✓ !j (4) posizione velocità accelerazione Figura 1:Moto di un punto su traiettoria circolare. Alternativamente, possiamo riscrivere la velocità secondo la componente tangentealla traiettoria: !v=R˙✓( sin✓ !i+ cos✓ !j)=R˙✓ !t (5) dove abbiamo definito il versore tangenziale !t= sin✓ !i+ cos✓ !j= !v/| !v|.S i n o t i a n c h e c h e i l v e r s o di !vdipende dal segno di ˙✓(in figura 6 abbiamo tacitamente assunto ˙✓>0). L’accelerazione si ottiene derivando !v: !a=d !v dt=dvx dt !i+dvy dt !j=ax !i+ay !j (6) =( R˙✓2cos✓ R¨✓sin✓) !i+( Rsin✓˙✓2+R¨✓cos✓) !j (7) Riordinando i termini, possiamo evidenziare componente normale e tangenziale: !a=R¨✓( sin✓ !i+ cos✓ !j)| {z } !t +R˙✓2( cos✓ !i sin✓ !j)| {z } !n =at !t+an !n (8) Utilizzando i numeri complessi invece abbiamo: !P=Rei✓ (9) !v=iR˙✓ei✓=R˙✓ei(✓+⇡/2) (10) !a=iR¨✓ei✓ R˙✓2ei✓=R¨✓ei(✓+⇡/2) R˙✓2ei✓ (11) Ricordando le equazioni di Eulero e le seguenti uguaglianze trigonometriche: cos(✓+⇡/2) = sin✓,sin(✓+⇡/2) = cos(✓), cos(✓+⇡)= cos✓, sin(✓+⇡)= sin(✓) èf a c i l em o s t r a r ec h ep r e n d e n d ol ap a r t er e a l eei m m a g i n a r i ad e…