Esercizi curve

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Curve 1. Sia γ la curva di equazione parametrica:    x = cos t + t sin t y = sin t − t cos t con −π ≤ t ≤ π. Stabilire se γ ` e chiusa; calcolare il vettore tangente e il suo modulo; stabilire se γ ` e regolare. 2. Sia γ la curva piana di equazione polare ρ = sin 2 ( θ 2 ) per θ ∈ [0, 2π]. Scrivere le equazioni parametriche di γ; stabilire se la curva ` e chiusa; calcolare il vettore tangente e il suo modulo; stabilire se la curva ` e regolare. 3. Calcolare la lunghezza della curva γ di equazione vettoriale r(t) = t2i + t3j, −1 ≤ t ≤ 1. 4. Calcolare la lunghezza della curva γ di equazione cartesiana y = log x, 1 ≤ x ≤ √ 3. 5. Calcolare la lunghezza della curva γ di equazione parametrica:    x = cos t y = − sin t π 3 ≤ t ≤ π 2 z = log(3 sin t) 6. Calcolare la lunghezza della curva γ di equazione cartesiana y = ex, 0 ≤ x ≤ 1. 7. Calcolare la lunghezza della curva γ di equazione polare ρ = e−θ, 0 ≤ θ ≤ 2π. 8. Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva γ di equazione paramet- rica:    x = 2 sin t y = −3 cos t z = 4t 1 nel punto P di γ corrispondente al valore del parametro t = 0. 9. Calcolare la lunghezza della curva γ di equazione parametrica:    x = cos t + t sin t y = sin t − t cos t con −π ≤ t ≤ π. Soluzioni 1. Si ha che γ(−π) = ( −1, −π), γ(π) = ( −1, π), dunque la curva non ` e chiusa; γ′(t) = ( t cos t, t sin t); |γ′(t)|= |t|; la curva non ` e regolare nel punto (1 , 0). 2. Le equazioni parametriche di γ sono:    x = sin 2 ( θ 2 ) cos θ y = sin 2 ( θ 2 ) sin θ La curva ` e chiusa:γ(0) = γ(2π) = (0 , 0); γ′(θ) = ( sin θ 2 cos θ 2 cos θ − sin2 ( θ 2 ) sin θ, sin θ 2 cos θ 2 sin θ + sin2 ( θ 2 ) cos θ ) ; |γ′(θ)|= ⏐⏐⏐⏐⏐sin θ 2 ⏐⏐⏐⏐⏐, la curva non ` e regolare in (0 , 0). 3. L = ∫ 1 −1 √ 4t2 + 9t4 dt = ∫ 1 −1 |t| √ 4 +…