Esercizi integrali 1

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Integrali indefiniti 1. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, usando il metodo di sostituzione: 1) ∫ sin x cos x dx 2) ∫ sin x 1 + cos2 x dx 3) ∫ 1 x √ 1 − log2 x dx 4) ∫ x √ 1 − x2 dx 5) ∫ sin3 x dx 2. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, usando il metodo di decomposizione: 1) ∫ x3 + x2 + 1 x2 dx 2) ∫ √1 + x√1 − x dx 3) ∫ ( 3 + 2x2 x )2 dx 4) ∫ tan2 x dx 3. Calcolare i seguenti integrali indefiniti, usando il metodo di integrazione per parti: 1) ∫ x2ex dx 2) ∫ x log x dx 3) ∫ arctan x dx 4) ∫ x arctan x dx 5) ∫ log2 x dx 6) ∫ log(x2 + 1) dx 1 7) ∫ ex sin x dx 8) ∫ sin2 x dx 9) ∫ x sin2 x dx 10) ∫ sin3 x cos2 x dx 11) ∫ x cos2 3x dx 12) ∫ sin4 x dx 4. Calcolare i seguenti integrali indefiniti: 1) ∫ 1 x√2x − 1 dx 2) ∫ √ ex − 1 dx 3) ∫ sin 2x 1 + sin x dx 4) ∫ x3 log2 x dx 5) ∫ arctan √x dx 6) ∫ cos(log x) dx Soluzioni. 1. 1) 1 2 sin2 x + c 2) − arctan cos x + c 3) arcsin log x + c 4) − 1 3 √ (1 − x2)3 + c 5) − cos x + 1 3 cos3 x + c 2. 2 1) 1 2x2 + x − 1 x + c 2) arcsin x − √ 1 − x2 + c 3) − 9 x + 4x + 12 log |x|+ c 4) = ∫ (1 + tan2 x − 1) dx = tan x − x + c 3. 1) ex(x2 − 2x + 2) + c 2) 1 2x2(log x − 1 2) + c 3) x arctan x − 1 2 log(1 + x2) + c 4) 1 2 arctan x − 1 2(x − arctan x) + c 5) x log2 x − 2x log x + 2x + c 6) x log(x2 + 1) − 2x + 2 arctan x + c 7) 1 2ex(sin x − cos x) + c 8) 1 2(− sin x cos x + x) + c 9) 1 2x(x − sin x cos x) − 1 4 x2 + 1 4 sin2 x + c, N. B. sin 2 x = (x − sin x cos x 2 )′ 10) − 1 3 cos3 x + 1 5 cos5 x + c 11) 1 3 x tan 3x + 1 9 log |cos 3x|+ c 12) 1 4 [ − cos x sin3 x + 3 2 (x − sin x cos x) ] + c 4. 1) 2 arctan √ 2x − 1 + c 2) 2 √ ex − 1 − 2 arctan √ ex + 1 + c 3) 2 sin x − log(1 + sin x)2 + c 3 4) 1 4x4 log2 x − 1 8 x4 log x + 1 32x4 + c 5) x arctan √x − √x + arctan √x + c, si pone √x = t. 6) 1 2x(cos(log x) + sin(log x)) + c, si pone…