Esercizi integrali 2

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Integrali di funzioni razionali 1. Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali: 1) ∫ 1 x2 − 3x + 2 dx 2) ∫ 3x − 4 x2 − 5x + 6 dx 3) ∫ x + 3 x2 − 2x + 1 dx 4) ∫ x + 1 (3x + 2)2 dx 5) ∫ x + 2 2x2 + 4x + 3 dx 6) ∫ x3 + x2 − x − 2 x2 + x + 1 dx 7) ∫ 1 x3 − 1 dx 8) ∫ 1 (x + 1)(x2 − 1) dx 9) ∫ x6 − 1 x − 1 dx 10) ∫ 1 + 2x2 x4 − 1 dx 2. Calcolare i seguenti integrali: 1) ∫ 1 ex + 1 dx 2) ∫ 1 + 2ex e2x − 1 dx 3) ∫ √x 2 + √x dx 4) ∫ 1 x√x + 4 dx 5) ∫ tan3 x dx 1 3. Calcolare i seguenti integrali di funzioni trigonometriche: 1) ∫ 1 2 + cos x dx 2) ∫ 1 sin x dx 3) ∫ 1 1 + sin x dx 4) ∫ 1 cos x dx 5) ∫ 1 sin x + cos x dx Soluzioni. 1. 1) − log |x − 1|+ log |x − 2|+ c 2) −2 log |x − 2|+ 5 log |x − 3|+ c 3) log |x − 1| − 4 x − 1 + c. 4) 1 9 (log |3x + 2| − 1 3x + 2 ) + c. 5) 1 4 log(2x2 + 4x + 3) + 1√ 2 arctan √ 2(x + 1) + c 6) 1 2 x2 − log(x2 + x + 1) − 2√ 3 arctan 2x + 1√ 3 + c 7) 1 3 log |x − 1| −1 6 log(x2 + x + 1) − 1√ 3 arctan 2x + 1√ 3 + c 8) − 1 4 log |x + 1|+ 1 2 1 x + 1 + 1 4 log |x − 1|+ c 9) 1 6 x6 + 1 5 x5 + 1 4 x4 + 1 3 x3 + 1 2 x2 + x + c 10) 3 4 (log |x − 1| −log |x + 1|) + 1 2 arctan x + c 2. 1) x − log(ex + 1) + c 2) −x + 3 2 log |ex − 1| −1 2 log(ex + 1) + c 2 3) 2 x − 4√x + 8 log(√x + 2) + c, si pone √x = t. 4) 1 2 (log | √ x + 4 − 2| −log( √ x + 4 + 2)) + c, si pone √x + 4 = t. 5) 1 2 (tan2 x − log(1 + tan2 x)) + c, si pone tan x = t. 3. 1) 2√ 3 arctan ( 1√ 3 arctan x 2 ) + c 2) log ⏐⏐⏐⏐tan x 2 ⏐⏐⏐⏐ + c 3) −2 1 1 + tan x 2 + c 4) log ⏐⏐⏐⏐⏐ 1 + tan x 2 1 − tan x 2 ⏐⏐⏐⏐⏐ + c 5) 1√ 2 log ⏐⏐⏐⏐⏐ tan x 2 − 1 + √ 2 tan x 2 − 1 − √ 2 ⏐⏐⏐⏐⏐ + c 3