Esercizi Integrali Doppi

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Probabilit`a 2020/2021 Esercizi integrali doppi. Esercizio 1 . Calcolare ∫ S xydxdy dove (a) S = { 0<x< 1, x2≤y≤√x } , (b) S = { 0<x< 1, y=√x } . Esercizio 2 . Calcolare ∫ S xey dxdy doveS = { 0<x ≤ 1, 0<y< √ 1 −x2} . Esercizio 3 . Calcolare ∫ S y x dxdy doveS = { x≥ 1, 0≤y≤ 1 x } . Esercizio 4 . Indicato con S il quadrato [0,1]2, confrontare forma e area dih(S), dove (a) h(x,y ) = (x + 1,x +y), (b) h(x,y ) = (x + 1,x +y −xy +x2y). Esercizio 5 . Disegnare e calcolare l’area di S = { 0<x<y< 2x, 1<xy< 2 } . Esercizio 6 . Disegnare un grafico qualitativo di f : R2→ R, f(x,y ) = e−x2−y2 . Calcolare quindi ∫ S e−x2−y2 dxdy per (a) S = { y =x2} , (b) S = { x2 +y2< 1 } . Esercizio 7 . Mediante gli integrali doppi generalizzati si calcoli ∫ +∞ −∞ e−x2 dx. Esercizio 8 . Si consideri la famiglia di funzioni f : R2→ R, f(x,y |a,b ) =ae−b(x2+y2), dove (a,b )∈ R2 `e un parametro bidimensionale. (a) Trovare i valori di (a,b ) per cui ∫ R2 f(x,y |a,b )dxdy = 1. (b) Per i valori di (a,b ) trovati al punto (a) e per 0<α< 1 si trovirα tale che ∫ {x2+y2>r2 α} f(x,y |a,b )dxdy =α. 1 Probabilit`a 201/201 - Risultati Integrali Doppi Esercizio 1 . (a) 1/12, (b) 0. Esercizio 2 . 1/2 Esercizio 3 . 1/4 Esercizio 4 . (a) 1, (b) 5/6. Esercizio 5 . log √ 2 Esercizio 6 . (a) 0, (b) π ( 1 − 1 e ) . Esercizio 7 .√π Esercizio 8 . (a) (a,b ) = (b/π,b ), con b> 0. Tale insieme pu `o anche essere scritto nel modo seguente: (a,b ) = (1/(2πσ2),1/(2σ2)), conσ> 0. (b) σ √ log(1/α2). 2