Esercizi Integrali impropri

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INTEGRALI IMPROPRI Esercizi svolti 1. Usando la definizione, calcolare i seguenti integrali impropri: (a) ∫ + ∞ 1 x√ (x2 +5)3 dx ; (b) ∫ + ∞ 0 arctanx 1+ x2 dx ; (c) ∫ + ∞ 0 ( x3 ( 8+ x4 )−5/3 +2 xe−x ) dx ; (d) ∫ + ∞ 1/2 1√ 2 x(2 x +1) dx ; (e) ∫ + ∞ 0 9 x +8 (x +2)( x2 +1) dx. 2. Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore: ∫ 1 −1 1√ |x|(x − 4) dx. 3. Calcolare ∫ + ∞ 2 x ( √ x2 +3)n dx p e ri lp i `u piccolo valore din ∈IN per cui l’integrale converge. 4. (a) Determinare tutti i valori dia, b ∈IR per i quali ∫ + ∞ 0 1 xa(4+9 x)b+1 dx converge. (b) Calcolare ∫ + ∞ 0 1√x(4+9 x) dx . 5. Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri. (a) ∫ + ∞ 0 |x2 − 2 x − 3|−x2 − 2 x − 3 xα dx (b) ∫ 5 4 1 − 3x√x − 2 dx 6. Determinare per qualiα ∈IR converge il seguente integrale improprio e calcolarlo perα =0 : ∫ 3 2 x[sin(x − 2)]α √ x2 − 4 dx 7. (a) Dire per quali valori dia ∈IR converge ∫ + ∞ a 1 (x − 2) √ |x − 3| dx . (b) Calcolare l’integrale precedente pera =6 . 8. Studiare la convergenza assoluta del seguente integrale improprio : ∫ + ∞ 0 sinx x2 + x +1 dx 9. Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri: (a) ∫ 1 0 log(1+√x) sinx dx (b) ∫ + ∞ 3 x√ x2 − 3√2 x +3 dx 10. Data la funzionef(x)= 1 − cosx x2 log(1+3√x) , studiarne il comportamento nell’origine e determinarne la parte principale. Studiare quindi la convergenza dell’ integrale improprio : ∫ + ∞ 0 f(x)dx. CORREZIONE 1. (a) Per definizione di integrale improprio: ∫ + ∞ 1 x√ (x2 +5)3 dx = lim t→ + ∞ ∫ t 1 x√ (x2 +5)3 dx Svolgiamo l’integrale indefinito: ∫ x√ (x2 +5)3 dx = 1 2 · ∫ 2 x ·(x2 +5)− 3 2 dx = = 1 2 ·(x2 +5)− 1 2 − 1 2 + c= − 1√ x2 +5 + c Dunque: ∫ + ∞ 1 x√ (x2 +5)3 dx = lim t→ + ∞ [ − 1√ x2 +5 ]t 1 = lim t→ + ∞ ( − 1√ t2 +5 + 1√ 6 ) = 1√ 6 (b) ∫ arctanx 1+ x2…