Esercizi limiti 3

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Infiniti/infinitesimi, continuit` a 1. Stabilire gli ordini di infinito/infinitesimo delle seguenti funzioni: 1) f (x) = x + 2 x4 − 1 , x → +∞ (R. infinitesimo di ordine 3) 2) f (x) = √ 1 − x2, x → 1 (R. infinitesimo di ordine 1 2) 3) f (x) = x3 − 5x2, x → 0 (R. infinitesimo di ordine 2) 4) f (x) = 1 x2 + 3x − 1, x → +∞ (R. infinitesimo di ordine 2) 5) f (x) = √2x − 1, x → 1 2 + (R. infinitesimo di ordine 1 2 ) 6) f (x) = x3 − 8, x → 2 (R. infinitesimo di ordine 1, N.B. x3 − 8 ∼ 12(x − 2)) 7) f (x) = x3 − x2 + 1, x → +∞ (R. infinito di ordine 3) 8) f (x) = 5x (x2 − 3x + 2)2 , x → 1 (R. infinito di ordine 2, N. B. f (x) ∼ 5 (x − 1)2 ) 9) f (x) = 3 − x x4 + x2 , x → 0 (R. infinito di ordine 2, N. B. f (x) ∼ 3 x2 ) 2. Verificare che per x → 0+, f(x) = x ` e un infinitesimo di ordine superiore a 1 ln x 3. Determinare l’ordine di infinitesimo per x → 0 delle seguenti funzioni: 1) f (x) = sin x − tan x (R. 3, N. B. sin x − tan x = sin x(cos x − 1) cos x ∼ x(− 1 2 x2)) 2) f (x) = √ 1 + x5 − √ 1 − x5 (R. 5) 3) ln(1 + x)x (R. 2) 4. Disporre in ordine crescente di infinitesimi per x → 0+ le seguenti funzioni: 1) f (x) = √1 − cos x 2) g(x) = ln(1 + e− 3 x ) 3) h(x) = e 5√x − 1 4) k(x) = (ex − e−x)5 x (R. h ha ordine 1 5 , f ha ordine 1, k ha ordine 4 , g ha ordine superiore) 1 5. Disporre in ordine crescente di infinito per x → +∞ le seguenti funzioni: 1) f (x) = 4√ x2 + x 2) g(x) = √x arctan x 3) h(x) = ln(1 + ex) (R. f ha ordine 1 2, g ha ordine 1 2, h ha ordine 1) 6. Stabilire se la funzione f (x) = sin xe 1 x se x ̸= 0, f (x) = 0 se x = 0, ` e continua inR. (R. no, non ` e continua in x = 0, infatti lim x→0+ f (x) = lim t→+∞ et t = +∞) 7. Sia f (x) = −2 sin x se x ≤ − π 2 , f(x) = a sin x + b se − π 2 < x < π 2 , f (x) = cos x se x ≥ π 2 . Determinare a e b affinch´ ef sia continua in R (R. a =…