Esercizi n complessi

Pagina 1

Esercizi sui numeri complessi 1. Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi: 1: z = 7 + i 4 i (R. z = 27 17 + 11 17 i ) 2: z = (1 + 2i)3 (2 + i)3 (R. z = 44 125 + 117 125 i) 3: z = ( 1 + 2i 1 + i ) 4 (R. z = 7 4 + 6i) 4: z = ( p 3 + p 2i)3 p 2 p 3i (R. z = 2 p 6 + i) 2. Determinare e disegnare il luogo degli z 2 C tali che: 1: jzj = jz + ij (R. z = x 1 2 i,  e una retta parallela all'asse x) 2: Re (z2) > 2 (R. z = x + iy; x2 y2 > 2  e la zona esterna ai due rami di iperbole) 3: Im ( 1 z ) = 1 (R. z = x + iy; x2 + y2 y = 0,  e la circonferenza di centro (0 ; 1 2 ) e raggio 1 2) 4: 0  Re(iz)  2 (R. z = x + iy; 2  y  0,  e la zona compresa tra le rette y = 0 e y = 2) 3. Risolvere le seguenti equazioni: 1: jz ij = jz + 2j (R. z = x + i( 3 2 2x)) 2: jz ijjzj = jz ij2 (R. z = i; z = x + 1 2 i) 3: z 2 + z z = 3 + 2 i (R. z = √ 3 2 + √ 2 3 i; z = √ 3 2 √ 2 3 i) 4: z 2 + z = 0 (R. z = 0; z = 1; z = 1 2  p 3 2 i) 4. Determinare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi: 1: z = 3i (R. jzj = 3; arg(z) = 1 2 ) 2: z = 1 i (R. jzj = p 2; arg(z) = 1 4 ) 3: z = 1 + p 3i (R. jzj = 2; arg(z) = 2 3 ) 1 4: z = p 3 + i (R. jzj = 2; arg(z) = 5 6) 5: z = 2 + i (R. jzj = p 5; arg(z) = arctan 1 2 + ) 5. Utilizzando la formula di De Moivre, determinare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi: 1: z = 1 + i 1 i (R. jzj = 1; arg(z) = ) 2: z = 1 + ip 3 + i (R. jzj = p 2 2 ; arg(z) = 1 12 ) 3: z = 1 + p 3i 1 i (R. jzj = p 2; arg(z) = 7 12 ) 6. Dopo aver scritto in forma algebrica i numeri complessi z = 1 + ip 3 + i e z = 1 + p 3i 1 i , calcolare, tenendo conto dell'esercizio precedente, tan 1 12  e tan 7 12 . (R. = tan 1 12  = p 3 1p 3 + 1 ; tan 7 12  = p 3 + 1p 3 1 ) 7. Utilizzando la formula di De Moivre, scrivere in forma algebrica i seguenti…