Esercizi per la preparazione della prima prova in itinere

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1) Mostrare che i 3 vettori v=           −1 0 1 , u=           1 2 1 , w=           − 2 3 0 formano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale. 2) Sia f : R4→ R4 la seguente applicazione lineare f([x, y, z, t] T)=[x+y-2z+t, x-y+z+t, x-2z, y+t] T. Dimostrare che f ammette λ=0 come autovalore. 3) Sia data la funzione lineare T: R4→ R2 definita da: T: [x,y,z,w] T→ [x+2y-z+w,z+w] T. a) Calcolare le dimensioni di N( T) e di Im( T) . b) Determinare una base ortonormale B0 di N( T) . c) Completare la base B0 a una base ortonormale di R4. 4) Dire per quali valori di k la matrice A=           −− k k 22 033 00 è diagonalizzabile. Per tali valori trovare una matrice diagonale D a cui A sia simile e una matrice P tale che P -1AP=D. 5) Trovare i valori del parametro reale h per cui la matrice           += 200 011h 021 A è simile alla matrice B=diag(1,1,2) , dire se per tali valori A è ortogonalmente simile a B e, in caso positivo, determinare una matrice ortogonale U tale che U TAU=D. 6) Dire se le due matrici A=           − 101 010 002 , B=           − 111 021 001 , possono essere associate ad una stessa applicazione lineare (rispetto a basi diverse). 7) Determinare i valori reali di h per cui la matrice A=           − − 200 001 011 h è ortogonalmente diagonalizzabile. Per tali valori di h riconoscere la conica di equazione X TAX=0 ove XT=[x,y,1]. 8) Si consideri la matrice A=           − 0 0 1120 ab ba a . Determinare i valori di a,b per cui A è ortogonalmente diagonalizzabile e per tali valori trovare la matrice diagonale D a cui A è simile e una matrice ortogonale U per cui U TAU=D. Dire se A è simile alla matrice…