Esercizi sulle funzioni

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Funzioni numeriche: generalit` a 1. Determinare l’insieme di definizione delle seguenti funzioni: 1) f (x) = √ e2x − ex (R. [0 , +∞)) 2) f (x) = log(1 − x3) (R. ( −∞, 1)) 3) f (x) = arcsin( x2 − 2) (R. [ − √ 3, −1] ∪ [1, √ 3]) 4) f (x) = log(sin x + cos x) (R. − π 4 + 2kπ < x < 3 4 π + 2kπ, k ∈Z) 2. Determinare l’insieme di definizione, l’immagine e tracciare il grafico delle seguenti funzioni: 1) f (x) = |x − 1|+ |x|+ 2 |x| x (R.R \ {0}; (−1, +∞); f (x) = −2x − 1 se x < 0, 3 se 0 < x ≤ 1, 2 x + 1 se x ≥ 1) 2) f (x) = [1 − x2] + √ 1 − x2 (R. [ −1, 1]; [0 , 1) ∪ {2}; f (x) = √ 1 − x2 se x ̸= 0, 2 se x = 0) 3. Determinare l’espressione analitica della funzione composta f ◦ g dove f (x) = 1 se x ≥ 0, f (x) = −1 se x < 0; g(x) = sin x. Disegnare il grafico di f ◦ g. (R. ( f ◦ g)(x) = 1 se 2 kπ ≤ x ≤ π + 2kπ, k ∈Z, (f ◦ g)(x) = −1 altrove) 4. Determinare dominio e immagine delle seguenti funzioni; nel caso la fun- zione sia invertibile, determinare la funzione inversa 1) f (x) = x3 + 2 (R. R,R, y = 3√x − 2) 2) f (x) = e−|x| (R. (R, (0, 1]) 3) f (x) = x x + 1 (R.R \ {−1},R \ {1}, y = x 1 − x ) 5. Stabilire se le seguenti funzioni sono periodiche e, in caso affermativo, determinarne il periodo: 1) cos(2 x + 1) (R. π) 2) sin(6 x) + cos(3x) (R. 2 3π) 3) 2 sin x (R. 2 π) 4) (sin x)2 (R. π) 5) tan( x 2 ) + (cos x)2 (R. 2 π) 6. Calcolare 1) arcsin(sin x), con π 2 ≤ x ≤ 3 2π; 2) arcsin(sin x), con 3 2π ≤ x ≤ 5 2 π. (R. 1) π − x; 2) x − 2π) 1 7. Risolvere l’equazione sin(arcsin x2 2 ) = x + 3 2 (R. x = −1, 3) 8. Calcolare le seguenti espressioni: 1) arccos(cos 2) (R. 2) 2) arccos(cos 4) (R. 2 π − 4) 3) arctan(tan 1) (R. 1) 4) arctan(tan 2) (R. 2 − π) 5) arcsin(sin 16 5 π) (R. − π 5 ) 6) cos(arccos x) (R. x, −1 ≤ x ≤ 1) 9. Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari: 1) f (x) = x 1 +…