Example of exam

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MATEMATICA NUMERICA ESEMPIO di APPELLO Firma leggibile dello studente CDL Ingegneria Matematica Giugno 2018 Prof. Alfio Quarteroni Durata : 2h30’ Nome Cognome Matricola Esercizio 1 Si consideri un sistema lineare caratterizzato dalla seguente matrice : A =   20 2 3 0 α 1 0 0 β 0 1 0 0 0 0 γ  . a) Si dica per quali scelte dei parametri il sistema si può risolvere con il metodo delle sostituzioni all’in- dietro. b) Si dica per quali scelte dei parametri esiste la fattorizzazione LU di Gauss della matriceA. c) SiindichinocondizionisufficientisuiparametriaffinchèimetodidiJacobiediGauss-Seidelconvergono. d) Quali condizioni deve verificare la matriceA affinché il metodo del gradiente si possa applicare? Quali scelte dei parametri ¯α, ¯β, ¯γ garantiscono che tali condizioni sono soddisfatte? Se necessario, usare Matlab per motivare la vostra risposta. e) Prendendo i valori di ¯α e ¯β trovati al punto d), e posto¯γ = 1, si applichi il metodo del gradiente coniugato precondizionato scegliendo b =Axex, xex = [1 1 1 1] T e come matrice di precondizionamentoP =D, dove Dii = (A)ii, D ij = 0 ∀i,j = 1,..., 4, i̸=j. Si calcoli il numero minimo di iterazionikmin necessarie affinché ∥e(k)∥A ∥e(0)∥A ≤ 10−3 dove e(k) è l’errore al passok, e∥·∥ A indica la norma dell’energia. f) Usare infine la funzione pcg di Matlab per risolvere il sistema lineare compiendokmin iterazioni e riportare l’errore relativo ottenuto dal metodo all’iterazionekmin. Si noti che la funzionepcg utilizza x(0) = 0 come condizione iniziale. Copyright ©2017–2018 MOX - Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano. Questo testo (compresi i quesiti ed il loro svolgimento) è coperto da diritto d’autore. Non può essere sfruttato a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Non possono essere ricavati lavori derivati.…