Exercise 06 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 6 - Soluzione Metodi diretti per sistemi lineari (2) Esercizio 1 Si consideri la matrice A = [ε b 1 c ] con b,c∈ R, e 0<ε ≪ 1, ovvero molto “piccolo”. a) Si applichi il metodo di eliminazione di Gauss (senza pivoting) per determinare la fattorizzazione LU di A. b) Si applichi il metodo di eliminazione di Gauss con pivotazione per righe per determinare la fattoriz- zazione LU diA. c) Consideriamo la matrice non singolare A =   1 1 + 0 .5· 10−15 3 2 2 20 3 6 4   ; si esegua con Matlab la fattorizzazione LU mediante il metodo di eliminazione di Gauss senza pivoting per righe (usando la funzionelugauss.m) e con pivoting per righe (usando il comando Matlablu). Quale differenza si nota? Sapreste motivarla? Soluzione 1 a) Applicando il MEG (senza pivoting) alla matriceA si hanno L = [1 0 1/ε 1 ] , U = [ε b 0 c−b/ε ] con elemento pivotalea(1) 11 =ε. Il calcolo della fattorizzazione LU con MEG al calcolatore genera quindi errori di arrotondamento rilevanti perε molto “piccolo” dovuti al calcolo diu22 =c−b/ε, essendo 1/ε molto “grande”. In pratica, se il moltiplicatore è grande, può esserci perdita di cifre significative nella sottrazione. b) Applicando il MEG con pivotazione per righe diA, ovvero usando P = [0 1 1 0 ] si ottengono : la matrice permutata ˜A = PA = [1 c ε b ] , ˜L = [1 0 ε 1 ] , ˜U = [1 c 0 b−εc ] con elemento pivotale ˜a(1) 11 = 1 . In tal caso, il calcolo della fattorizzazione LU tramite MEG con pivoting per righe al calcolatore consente di contenere gli errori di arrotondamento; infatti, perε molto “piccolo”, si ha˜u22 =b−εc≃b. 1 c) Con i seguenti comandi, si ottiene : A = [1 1+0.5e-15 3; 2 2 20; 3 6 4] [L,U] = lugauss(A) L =…