Exercise 02

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PoliFEM in 30’ Introduzione a PoliFEM Andrea Manzoni MOX - Dipartimento di Matematica Matematica Numerica CdL in Ingegneria Matematica 7 marzo 2019 Andrea Manzoni (MOX) Introduzione a PoliFEM Matematica Numerica 1 / 20 Formulazione debole del problema Consideriamo il seguente problema ai limiti: { −u′′ = f in (a, b) u(a) = u(b) = 0 (1) dove f : (a, b)→ R ` e una funzione sufficientemente regolare. Si pu` o verificare che la formulazione debole del problema (1) ` e data da: trovare u∈ V tale che a(u, v) = F (v) ∀v∈ V , (2) con a(u, v) = ∫ b a u′v′ dx, F (v) = ∫ b a fv dx e V ={v∈ H 1(a, b) : v(a) = v(b) = 0}. Andrea Manzoni (MOX) Introduzione a PoliFEM Matematica Numerica 2 / 20 Il metodo di Galerkin Con il metodo degli elementi finiti (Finite Element Method, FEM) vogliamo determinare una funzione uh che approssimi la soluzione u nel dominio ( a, b)⊂ R. La soluzione approssimata uh appartiene a un opportuno spazio finito dimensionale Vh e deve soddisfare le condizioni al contorno del problema. Il metodo di Galerkin consiste nel rimpiazzare lo spazio infinito dimensionale V con uno spazio finito dimensionale Vh⊂ V di dimensione Nh: trovare uh∈ Vh tale che a(uh, vh) = F (vh) ∀vh∈ Vh. (3) Indicando con{ϕj , j = 1,2, . . . ,Nh} una base di Vh, ` e sufficiente che (3) sia verificata per ogni funzione della base, poich´ e tutte le funzioni dello spazio Vh sono combinazioni lineari delle ϕj. Richiederemo quindi che a(uh, ϕi ) = F (ϕi ), i = 1,2, . . . ,Nh. (4) Andrea Manzoni (MOX) Introduzione a PoliFEM Matematica Numerica 3 / 20 Il metodo di Galerkin Poich´ euh∈ Vh, possiamo esprimere uh(x) = Nh ∑ j=1 uj ϕj(x), dove gli uj , j = 1, . . . ,Nh, sono coefficienti incogniti. Le equazioni (4) divengono dunque Nh ∑ j=1 uj a(ϕj , ϕi ) = F (ϕi ), i = 1,2, . . . ,Nh. (5) Indichiamo con A la…