Exercise 03

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 3 Algebra Lineare Esercizio 1 Si consideri la norma matriciale di Frobenius di una matriceA∈ Rn×n, ovvero ∥A∥F = √ n∑ i,j=1 a2 ij. a) Provare che∥·∥ F è effettivamente una norma suRn×n. b) Provare che la norma di Frobenius ècompatibile con la norma euclidea : ∥Ax∥2≤∥ A∥F∥x∥2 ∀x∈ Rn. c) Detta I la matrice identità, si calcoli∥I∥F, e si usi il risultato per dimostrare che pern> 1 la norma ∥·∥ F non è indotta da alcuna norma vettoriale suRn. Esercizio 2 Si definiscep-norma, per ognip∈ (0,∞], l’espressione seguente : ∥x∥p =    ( n∑ i=1 |xi|p ) 1 p p̸=∞, ∥x∥∞ = max i=1,...,n |xi| p =∞, ∀x∈ Kn. (1) Per ogni A∈ Rm×n si definisce la norma matriciale∥·∥ p, detta indotta dalla p-norma vettoriale (1)∥·∥ p, come ∥A∥p = sup 0̸=x∈Rm ∥Ax∥p ∥x∥p . Dimostrare le relazioni seguenti, doveB = AT A : ∥A∥1 = max j=1,...,n m∑ i=1 |aij|; ∥A∥∞ = max i=1,...,m n∑ j=1 |aij|, ∥A∥2 = max i=1,...,m √ λi(B). (2) 1 Esercizio 3 Si dimostrino le relazioni seguenti : a) Per ogni x∈ Rn ∥x∥2≤∥ x∥1≤√n∥x∥2, ∥x∥∞≤∥ x∥2≤√n∥x∥∞, 1 n∥x∥1≤∥ x∥∞≤∥ x∥1. b) Per ogni A∈ Rn×n 1 nK2(A)≤K1(A)≤nK2(A), 1 nK∞(A)≤K2(A)≤nK∞(A) 1 n2K1(A)≤K∞(A)≤n2K∞(A). Esercizio 4 Si dimostri che una norma matriciale indotta è sub-moltiplicativa. Si sfrutti il risultato trovato per provare che date due matrici quadrate non singolariA, B∈ Rn×n, alloraK(AB)≤K(A)K(B). Esercizio 5 Si consideri la matriceA∈ R2×2, A = [1 γ 0 1 ] , γ ≥ 0. Si considerino inoltre il sistema lineareAx = b e il sistema lineareperturbato A(x +δx) = b +δb. a) Sia b = [1, 0]T. Trovare una limitazione per la variazione relativa della soluzione∥δx∥∞ ∥x∥∞ in termini della variazione relativa dei dati∥δb∥∞ ∥b∥∞ . Il problema è stabile…