Exercise 04

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Probabilit`a 2019/2020 — Esercizi 4 V ariabili aleatorie discrete. Esercizio 1. Si consideri la probabilit`a uniforme nell’intervallo [0,1] su (R,B). Qui si definiscano le funzioni X(ω) = 1 [0,p](ω), ω ∈ R, Y (ω) = 1 [0,p](ω) +ω 1 (−∞,0)∪(1,∞)(ω), ω ∈ R, dove 0<p< 1 `e un parametro fissato. Si ricordi che la notazione 1 A indica la funzione indicatrice dell’insiemeA∈B , ossia 1 A(ω) := { 1, ω ∈A, 0, ω /∈A, ω∈ R. (a) Si mostri che X eY sono variabili aleatorie reali discrete. Si dimostri inoltre che X =Y q.c. (b) Si determinino legge PX, PY e valore atteso E[X], E[Y]. (c) Si esibisca un’altra variabile aleatoria X ′ con la stessa legge diX, ma definita su uno spazioΩ ′ discreto. Esercizio 2. Sia Ω = [ 0,1] e si consideri la σ-algebra di Borel A =B([0,1]). Si definisca P la probabilit`a uniforme su (Ω,A), caratterizzata dalla propriet`a: P ( (a,b ] ) =b −a, per ognia<b, cona,b∈ [0,1]. (a) Provare che P ( [a,b ] ) = P ( [a,b ) ) = P ( (a,b ) ) =b −a per ognia<b , cona,b∈ [0,1]. (b) Mostrare che P({ω}) = 0 per ogniω∈Ω. Si definiscano le seguenti funzioni, per ogniω∈Ω X(ω) = 1 [0,p](ω), Y (ω) = 1 (0,p)(ω), Z (ω) = 1 [0,p](ω) + 1 J(ω), dove 0<p< 1 `e un parametro fissato eJ = { 1 n }n∈N = {1, 1 2, 1 3,... }. (c) Si mostri che X,Y eZ sono variabili aleatorie reali discrete. Si dimostri inoltre che X =Y =Z q.c. (d) Si determinino legge PX, PY, PZ e valore atteso E[X], E[Y], E[Z]. Esercizio 3. Si consideri la funzione reale di variabile reale F(x) =    0, x< 0, 1/2, 0≤x< 1, 2/3, 1≤x< 2, 11/12, 2≤x< 3, 1, x ≥ 3. (a) Si mostri che F `e la funzione di ripartizione di una probabilit`a P su (R,B). 1 (b) Si mostri che P `e una probabilit`a discreta su (R,B), trovando i puntixk dove P `e concentrata e le corrispondenti probabilit`a pk, o equivalentemente determinando la…