Exercise 05

Pagina 1

Probabilit`a 2018/2019 - Esercizi 5 Variabili aleatorie continue. Esercizio 1. Si consideri lo spazio di probabilit` a (Ω,A, P) = ( R,B, m0,1 ) , dove m0,1 = m(B∩ (0, 1]), ∀B∈B , ed m ` e la misura di Lebesgue sui boreliani. Si considerino inoltre le funzioniX,Y,Z : Ω = R→ R definite sull’intervallo (0, 1) nel modo seguente: X(ω) = 1 ω, Y (ω) = 1√ω, Z (ω) = logω, per ogni ω∈ (0, 1). Per quanto riguarda il valore di X,Y,Z su R\(0, 1), si sa solamente che X,Y,Z sono costanti su tale insieme. (a) Mostrare che X, Y e Z sono variabili aleatorie ben definite q.c. (b) Determinare le distribuzioni di X,Y eZ, mostrando in particolare che si tratta di variabili aleatorie continue. (c) Calcolare le densit` a di probabilit` a diX, Y e Z. (d) Calcolare i valori attesi di X, Y e Z. (e) Esibire un’altra variabile aleatoria ˜X con la stessa legge di X, ma definita su un altro spazio di probabilit` a (˜Ω, ˜A,˜P). Esercizio 2. Data una variabile aleatoria reale continua X con densit` af simmetrica rispetto a µ∈ R, si mostri che (a) µ ` e una mediana, (b) Se E[|X|]< +∞, allora µ = E[X]. Esercizio 3 (Distribuzione di Cauchy ). Data una variabile aleatoria di Cauchy X, con densit` a f(x) = 1 π ( 1 + (x−α)2 ), α ∈ R, si calcolino: (a) la mediana, (b) E[X], (c) E[X 2]. Esercizio 4*. Data X variabile aleatoria positiva e continua, denotata con F la sua funzione di riparti- zione, si mostri che E[X] = ∫ +∞ 0 ( 1−F (x) ) dx. 1 Esercizio 5 (Distribuzione esponenziale). Si consideriX∼E (λ), variabile esponenziale di parametro λ> 0, quindi con densit` a f(x) =λ e−λx1 [0,+∞)(x), x ∈ R. (a) Calcolare la moda di X. (b) Calcolare il valore atteso E[X] e la varianza Var(X). (c) Calcolare la funzione di ripartizione FX di X. (d) (Propriet` a di assenza di memoria) Mostrare cheP (X >s +t|X >s) =P (X >t) per…