Exercise 05 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 5 Metodi diretti per sistemi lineari Esercizio 1 (P) A partire dai modelli di main file e datafile Eser05_AdvectionDiffusion_template.m e Eser05_AdvectionDiffusion_data_template.m, implementare in PoliFEM la soluzione del seguente pro- blema di diffusione e trasporto, usando elementi finiti lineari : { − (µu′)′ +βu′ = 0, 0<x< 1, u(0) = 0, u(1) = uD, dopo averne calcolato analiticamente la soluzione esatta nel casoµ,β costanti euD = 1. a) Nella creazione del datafile, si considerino i coefficienti di diffusione e trasporto e il dato di Dirichlet uD come parametri costanti, che sono forniti dal main al solutoreElliptic1D_Solver come ultimo argomento. b) Nel main file, risolvere il problema perµ = 1,β = 1,uD = 1, conN = 8 elementi. c) Modificare il main file in modo da visualizzare la soluzione approssimata al variare diN = 2 3, 24, 25, doveN indica il numero di elementi della partizione definita su(0, 1), e valutare graficamente l’ordine di convergenza del metodo, sia in normaL2, sia in normaH 1. Soluzione 1 La soluzione esatta del problema differenziale assegnato, conuD = 1, è uex(x) = e(β/µ)x− 1 eβ/µ− 1 . (1) a) Il datafile Eser05_AdvectionDiffusion_data.m può essere scritto come segue : %% POLIFEM - Esercitazione 5, datafile -- MATEMATICA NUMERICA, Prof. A. Quarteroni % Solution of the advection-diffusion problem, constant coefficients, % by the finite element method. % Copyright MOX-Politecnico di Milano, 2019 % DATAFILE a = 0; b = 1; data.flag_dirichlet = [1 2]; data.flag_neumann = []; data.flag_robin = []; data.bcDir = @(x,t,param)(0 + param(3). *x); data.bcNeu = @(x,t,param)(0. *x); data.bcRob_alpha = @(x,t,param)(0. *x); data.bcRob_gamma =…