Exercise 06

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Probabilit`a 2020/2021 — Esercizi 5 V ettori aleatori discreti. Esercizio 1. Date due variabili aleatorie reali X e Y di varianza finita e non nulla, definite sul medesimo spazio di probabilit`a, si consideri il coefficiente di correlazioneρX,Y = Cov(X,Y ) σXσY . Si mostri che: (a) se X eY sono indipendenti, alloraρX,Y = 0; (b) ρaX+b,cY+d =ρX,Y per ognia,c> 0,b,d∈ R; (c) ρX,aX+b =a/|a|, per ognia̸= 0; (d) Var ( 1 σY Y − ρX,Y σX X ) = 1 −ρ2 X,Y; (e) |ρX,Y| = 1 implicaY =aX +b per qualchea̸= 0 eb∈ R [Suggerimento: utilizzare il punto (d)]. Esercizio 2*. Dato un vettore aleatorio X = (X1,...,X n), in cui ciascuna variabile aleatoria Xi ha varianza finita, si mostri che X∈ Im(C) + E[X] q.c., ovvero P(X∈ Im(C) + E[X]) = 1, dove C `e la matrice varianza diX. [Suggerimento: si supponga inizialmente che E[X] = 0 e, in tal caso, si mostri cheX∈ (Ker(C))⊥ = Im(C) q.c.] Esercizio 3. DateX1,...,X n variabili aleatorie reali i.i.d. con momento secondo finito, introdotti µ = E[Xk], σ 2 = Var(Xk), Xn = 1 n n∑ k=1 Xk, S 2 n = 1 n − 1 n∑ k=1 ( Xk −Xn )2 , W 2 n = 1 n n∑ k=1 ( Xk −µ )2 , si mostri che: (a) E[Xn] =µ, Var(Xn) =σ2/n; (b) ∑n k=1X2 k =∑n k=1(Xk −Xn)2 +nX 2 n; (c) E[S2 n] = E[W2 n] =σ2. Esercizio 4. SianoX1,...,X n variabili aleatorie indipendenti con funzioni di ripartizioneFX1,...,F Xn. (a) Qual `e la funzione di ripartizione diX(n) = max{X1,...,X n}? (b) Qual `e la funzione di ripartizione diX(1) = min{X1,...,X n}? (c) M = min{X2,X 3} eS =X1 +X7 sono indipendenti? Le variabili aleatorie X(1) e X(n) sono indipendenti? Si consideri, ad esempio, il caso in cui n = 2 e X1,X 2 sono variabili aleatorie i.i.d. bernoulliane di parametro p∈ (0,1). (d) Come sono distribuite X(1) eX(2)? (e) X(1) eX(2) sono indipendenti? Esercizio 5. SianoX,Y,Z variabili aleatorie reali. Mostrare che: 1 1.…