Exercise 06

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 6 Metodi diretti per sistemi lineari (2) Esercizio 1 Si consideri la matrice A = [ε b 1 c ] con b,c∈ R, e 0<ε ≪ 1, ovvero molto “piccolo”. a) Si applichi il metodo di eliminazione di Gauss (senza pivoting) per determinare la fattorizzazione LU di A. b) Si applichi il metodo di eliminazione di Gauss con pivotazione per righe per determinare la fattoriz- zazione LU diA. c) Consideriamo la matrice non singolare A =   1 1 + 0 .5· 10−15 3 2 2 20 3 6 4   ; si esegua con Matlab la fattorizzazione LU mediante il metodo di eliminazione di Gauss senza pivoting per righe (usando la funzionelugauss.m) e con pivoting per righe (usando il comando Matlablu). Quale differenza si nota? Sapreste motivarla? Esercizio 2 Utilizzare opportunamente i comandi Matlabones e diag per costruire una matriceA∈ Rn×n con n = 20 tale che,a1,i = 1 e ai,1 = 1 per i = 1,...,n , aii = 4 per i = 2,...,n ed infineai,i+1 =−1 e ai+1,i =−1 per i = 2,...,n − 1. Tutti gli altri coefficienti diA sono nulli. Tale matrice si dicesparsa poiché il numero degli elementi non-nulli diA èO(n)≪n2, dunque molto elevato1. Per visualizzare la posizione degli elementi non nulli di A si utilizzi il comandospy. Calcolare inoltre la fattorizzazioneLU di A. Utilizzare il comandospy per determinare se le matriciL ed U siano o meno sparse. A vostro parere, le caratteristiche di sparsità dei fattoriL e U sono vantaggiose o svantaggiose? 1. In tal caso è vantaggioso memorizzare solo gli elementi non-nulli di A. In Matlab ciò viene fatto attraverso il comando sparse, ad esempio B=sparse(A). 1 Esercizio 3 Per limitare il fenomeno del riempimento (fill-in) è possibile effettuare operazioni preliminari di…