Exercise 15

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 15 Integrazione numerica Esercizio 1 Sia g una funzione continua definita sull’intervallo [−1, 1]. Si prendano tre punti di interpolazione t0 = −1,t 1 = α e t2 = 1, doveα è un numero reale tale che|α| < 1. Per approssimare l’integrale ∫ 1 −1g(t) dt, si consideri la formula di quadratura seguente : I2(g) = 2∑ j=0 wjg(tj) = w0g(−1) +w1g(α) +w2g(1). (1) a) Trovare i pesiw0,w 1 ed w2 in funzione diα tali che la formula (1) abbia grado di esattezza 2. b) Trovare inoltreα tale cheI2(p) = ∫ 1 −1p(t) dt per tutti i polinomip di grado 3. c) Riscrivere la formula per approssimare l’integrale ∫b a f (x) dx, utilizzando il cambio di variabili T : [−1, 1]→ [a,b ], x =T (t) = 1 2 [(a +b) +t(b−a)], e ponendog(t) = f (T (t)). Cosa si osserva? Esercizio 2 a) Scrivere la funzionepmedcomp.mche implementa la formula di quadratura del punto medio composita su intervalli equispaziati. La funzionepmedcomp.m riceve in ingresso gli estremi di integrazionea,b, il numero di sottointervalliN in cui si vuole suddividere il dominio di integrazione e la funzionefun da integrare, e restituisce in uscita il valore approssimato dell’integrale. L’intestazione dipmedcomp.m sarà quindi : function I = pmedcomp(a,b,N,fun) b) Scrivere la funzionetrapcomp.m che implementa la formula di quadratura del trapezio composita su intervalli equispaziati. L’intestazione della funzione sarà : function I = trapcomp(a,b,N,fun) . c) Scrivere la funzione simpcomp.m che implementa la formula di quadratura di Cavalieri-Simpson composita su intervalli equispaziati. L’intestazione sarà : function I = simpcomp(a,b,N,fun) . d) Si consideri l’integraleI = ∫ 1 0 cos(π 2x)dx e lo si approssimi utilizzando…