Exercise 07

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Probabilit`a 2018/2019 - Esercizi 7 Vettori aleatori continui. Esercizio 1. Si esibisca un esempio di due variabili aleatorie continueX eY con legge congiunta continua. Si esibisca poi un esempio di due variabili aleatorie continue X e Y con legge congiunta non continua. Esercizio 2*. Si mostri che due variabili aleatorie X eY sono variabili aleatorie continue e indipendenti se e solo se sono congiuntamente continue con densit` a congiunta fattorizzabile: esistono due funzioni h1 : R→ R e h2 : R→ R tali che f(X,Y )(x,y ) =h1(x)h2(y) q.o. Esercizio 3. Date X,Y indipendenti ed entrambe di legge E(λ), λ> 0, si calcoli P(X >Y ). Esercizio 4. Sia (X,Y ) un vettore aleatorio con densit` a: f(X,Y )(x,y ) = { x(y−x)e−y, 0<x<y, 0, altrove. (a) Calcolare le leggi di X e di Y . (b) X ed Y sono indipendenti? (c) Calcolare P(X≤ 2,Y ≤ 3). (d) Calcolare il coefficiente di correlazione ρX,Y . (e) Trovare una diversa densit` a congiunta avente le stesse densit` a marginali. Esercizio 5. Sia (X,Y ) un vettore aleatorio di densit` a f(X,Y )(x,y ) = { xe−(x+y) se x> 0, y >0 0 altrove (a) Quali sono le leggi di X e Y ? Le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti? (b) Calcolare Var(X +Y ). (c) Si calcolino i valori attesi di U = min{X,Y} e V = max{X,Y}. Esercizio 6. Il vettore aleatorio (X,Y ) ha legge uniforme sul quadratoQ di vertici (0, 2), (2, 0), (4, 2), (2, 4). (a) Qual ` e la legge diX? (b) Quanto vale E[X]? (c) Quanto vale P(X <Y )? (d) Quanto vale P(X≤ 2,Y ≤ 1)? (e) X ed Y sono indipendenti? 1 Esercizio 7. Una misura di resistenza in un circuito elettrico eseguita con uno strumento di risoluzione pari a 1 ohm d` a una lettura di 12 ohm. La resistenza R del circuito risulta pertanto descritta da una variabile aleatoria con distribuzione uniforme tra 11.5 e 12.5 ohm. Sia M = 1/R la…