Exercise 08 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 8 - Soluzione Metodi iterativi per sistemi lineari (2) Esercizio 1 Si consideri la seguente matrice : A =   10 −1 2 3 1 10 −1 2 2 3 20 −1 3 2 1 20   e sia Ax = b il sistema lineare associato, dove il termine noto è scelto in modo tale che la soluzione esatta sia xex = [1, 1, 1, 1]T. a) Verificare se la matriceA è simmetrica, definita positiva e/o a dominanza diagonale stretta. Stabilire, inoltre, se i metodi di Jacobi e Gauss-Seidel applicati al sistema convergano. b) Si calcoli la norma 2 della matrice di iterazioneBJ associata al metodo di Jacobi, per il sistema dato. Stimare il numero minimo di iterazionikmin necessarie affinchè il metodo di Jacobi riduca l’errore iniziale in norma 2 di un fattoreε = 10−10. c) Verificare numericamente il risultato ottenuto al punto precedente, implementando la funzione myjacobi con firma[xn,iter]=myjacobi(A,b,x0,nmax,toll) e partendo dal vettore iniziale x0 = zeros(4,1). La funzione deve arrestarsi qualora sia raggiunto il numero massimo di iterazioni Nmax o sia verificato il criterio di arresto : ∥r(k)∥2 ∥b∥2 <toll, (1) essendo r(k) = b− Ax(k) il residuo associato allak-esima iterazione. d) Si consideri ora il metodo SOR, x(k+1) i = ω aii  bi− i−1∑ j=1 aijx(k+1) j − n∑ j=i+1 aijx(k) j   + (1−ω)x(k) i , i = 1,...,n, k ≥ 0. (2) Modificare la funzionemyjacobi per ottenere una funzionemysor che implementi il metodo SOR per la risoluzione del generico sistemaAx = b. Si utilizzi poi la funzione per risolvere lo stesso problema con il metodo di Gauss-Seidel, con una tolleranzatoll = 10−10 : quante iterazioni vengono effettuate? L’errore relativo è minore del fattoreε = 10−10 considerato al punto b)? Soluzione…