Exercise 10

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Probabilit`a 2018/2019 - Esercizi 10 Convergenza di variabili aleatorie. Esercizio 1 (Macchina da scrivere ). Si rappresenti ogni intero n∈ N come n = 2k +ℓ, con k = 0, 1, 2,... eℓ = 0,..., 2k− 1. La rappresentazione ` e unica. Si consideri quindi come spazio di probabilit` a l’intervallo [0, 1] conσ-algebra dei boreliani e misura di Lebesgue, su cui ` e definita la successione (Xn)n∈N, dove: Xn(ω) =X2k+ℓ(ω) = 1 [ ℓ 2k, ℓ+1 2k ](ω), per ogni ω∈ [0, 1]. (a) Disegnare il grafico delle prime Xn e calcolarne la legge. (b) Calcolare lim inf Xn e lim supXn e studiare la convergenza quasi certa della successione. (c) Mostrare che Xn→ 0 in Lp per ogni p≥ 1, in probabilit` a e in legge. (d) Trovare una sottosuccessione di Xn convergente a 0 quasi certamente. Esercizio 2. Si consideri lo spazio di probabilit` a (Ω,A, P) con • Ω = (0, 1). • A=B ( (0, 1) ) , la σ-algebra di Borel su (0, 1). • P = m0,1, la misura di Lebesgue su (0 , 1). Per ogni n∈ N si considerino le funzioni Xn,Yn,Zn : Ω→ R definite per ogni ω∈ Ω = (0, 1) come segue Xn(ω) = 1 nω, Y n(ω) = 1√ω + 1 n , Z n(ω) = n n + 1 log 1 ω. Studiare la convergenza quasi certa della successioni (Xn)n∈N, (Yn)n∈N, (Zn)n∈N. Determinare, inoltre, la legge delle variabili aleatorie limite. Esercizio 3. Data una successione di variabili aleatorie ( Xn)n∈N, tutte definite sul medesimo spazio di probabilit` a e conXn∈ L2, E[Xn] =an→a∈ R e Var(Xn) =σ2 n→ 0, si mostri che: (a) E[X 2 n]→a2. (b) Xn→a in legge, probabilit` a, L1 e L2. Esercizio 4. Su uno stesso spazio di probabilit` a sia data una successione di variabili aleatorie (Xn)n∈N, tutte aventi legge uniforme su [0, 1]. Fissato un parametro α> 0, definiamo Yn = 1 n2 1 (1−Xn)α. (a) Per quali α si ha Yn→ 0 in probabilit` a ? (b) Per quali α si ha Yn∈ L1 ? (c) Per quali α si ha Yn→ 0 in L 1…