Exercise 10

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 10 Metodi iterativi per sistemi lineari (3) Esercizio 1 Si consideri il sistemaAx = b dove la matriceA ed il temine notob si ottengono con i seguenti comandi A = delsq( numgrid('B',50) ); b = ones( size(A,1),1 ); La matrice A∈ R1814×1814 è simmetrica e definita positiva con struttura sparsa, come si può visualizzare con il comandospy(A). Essa deriva dalla discretizzazione mediante differenze finite del problema di Laplace sulla griglia di nodi visualizzabile conspy(numgrid ('B', 50)). Per ciascuno dei seguenti punti, usare il comando Matlab pcg che implementa il metodo del gradiente coniugato precondizionato, imponendo una tolleranza pari a10−12 sul residuo, indi memorizzare il vettore dei residui ottenuti in funzione del numero di iterazioni (si rimanda all’help del comando). Visualizzare quindi le tre curve di abbattimento del residuo in scala semilogaritmica consemilogy. a) Calcolare il numero di condizionamento diA(usare il comandocondest) e risolvere il sistemaAx = b tramite pcg (con precondizionatore identico). b) Verificare che la parte tridiagonalePdi Aè simmetrica e definita positiva. Calcolare il condizionamento del sistema precondizionato con la matriceP e risolvere il sistema tramitepcg. c) Costruire algebricamente il sistema con precondizionatore centratoA∗x∗ = b∗, doveA∗ = ˆH−T A ˆH−1, b∗ = ˆH−T b, x∗ = ˆHx. La matrice ˆH è la matrice triangolare superiore ottenuta tramite la fattorizza- zione di Cholesky incompleta (senza fill-in) della matriceA, calcolata tramite il seguente comando, H=ichol(A); spy(H); Calcolare il numero di condizionamento associato al sistema precondizionato e risolvere tale sistema con pcg. Cosa emerge dal…