Exercise 11

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Probabilit`a 2018/2019 - Esercizi 11 Legge dei Grandi Numeri. Teorema Centrale del Limite. Esercizio 1. Consideriamo infinite prove di Bernoulli indipendenti con probabilit` a di successo 0<p< 1. Siano quindi Ω = {0, 1}N lo spazio campionario, ω = (ωk)∞ k=1∈ Ω il generico esito, A = σ(Ek : k = 1, 2,... ) la σ-algebra generata dagli eventi Ek = { ω∈ Ω: ωk = 1 } : ”successo alla prova k”, e sia P tale che {Ek}k∈N risulti una famiglia di eventi indipendenti con P(Ek) = p per ogni k ∈ N. Definiamo infine le variabili aleatorie Xn : Ω→ R, X n(ω) =ωn, n ∈ N. • Studiare al variare di p la convergenza quasi certa, in probabilit` a e in legge di: (a) Xn = 1 n ∑n k=1Xk; (b) Wn =Xn(1−Xn); (c) S2 n = 1 n−1 ∑n k=1(Xk−Xn)2 = n n−1Xn(1−Xn). • Per le successioni sopraelencate convergenti in legge ad una qualche costante, studiare anche asintotica normalit` a e velocit` a di convergenza. Per i punti (b) e (c), si suppongap̸= 1 2. Cosa sarebbe cambiato se avessimo realizzato le variabili aleatorie X1,X 2,... i.i.d. ∼ B(p) in un altro spazio di probabilit` a (Ω′,A′, P′)? Esercizio 2. Data una successione di variabili aleatorie ( Xn)n∈N, definite sul medesimo spazio di pro- babilit` a, indipendenti, identicamente distribuite e in L 1, si definisca Yn = eXn. Si mostri che la media geometrica delle Yn, data da ( n∏ k=1 Yk )1/n , converge q.c. a una costante e se ne determini il valore. QuandoXn∈ L2 per ognin∈ N si studi asintotica normalit` a e velocit` a di convergenza. Esercizio 3. Siano date le variabili aleatorie X1,X 2,... i.i.d. ∼ N(1, 3), definite sul medesimo spazio di probabilit` a. Si mostri che ∑n k=1Xk∑n k=1X 2 k q.c −→ 1 4. Esercizio 4. Data una successione di variabili aleatorie (Xn)n∈N indipendenti, identicamente distribuite e in L 2, con E[Xn] = Var(Xn) = 1, si studi la…