Exercise 11

Pagina 1

Probabilit`a 2019/2020 — Esercizi 11 Legge dei Grandi Numeri. Teorema Centrale del Limite. Esercizio 1. Consideriamo infinite prove di Bernoulli indipendenti con probabilit `a di successo 0 < p <1. Siano quindi Ω = {0,1}N lo spazio campionario, ω = (ωk)∞ k=1∈ Ω il generico esito, A = σ(Ek :k = 1,2,... ) laσ-algebra generata dagli eventi Ek = { ω∈Ω :ωk = 1 } : "successo alla provak", e sia P tale che {Ek}k∈N risulti una famiglia di eventi indipendenti con P(Ek) = p per ogni k∈ N. Definiamo infine le variabili aleatorie Xn :Ω→ R, X n(ω) =ωn, n ∈ N. " Studiare al variare dip la convergenza quasi certa, in probabilit`a e in legge di: (a) Xn = 1 n ∑n k=1Xk; (b) Wn =Xn(1 −Xn); (c) S2 n = 1 n−1 ∑n k=1(Xk −Xn)2 = n n−1Xn(1 −Xn). " Per le successioni sopraelencate convergenti in legge ad una qualche costante, studiare anche asintotica normalit`a e velocit`a di convergenza. Per i punti (b) e (c), si supponga p̸= 1 2. Cosa sarebbe cambiato se avessimo realizzato le variabili aleatorie X1,X 2,... i.i.d. ∼ B(p) in un altro spazio di probabilit`a (Ω ′,A ′, P ′)? Esercizio 2. Data una successione di variabili aleatorie (Xn)n∈N, definite sul medesimo spazio di probabilit`a, indipendenti, identicamente distribuite e in L 1, si definisca Yn = eXn. Si mostri che la media geometrica delleYn, data da ( n∏ k=1 Yk )1/n , converge q.c. a una costante e se ne determini il valore. Quando Xn∈ L2 per ogni n∈ N si studi asintotica normalit`a e velocit`a di convergenza. Esercizio 3. Siano date le variabili aleatorie X1,X 2,... i.i.d. ∼ N (1,3), definite sul medesimo spazio di probabilit`a. Si mostri che ∑n k=1Xk∑n k=1X2 k q.c −→ 1 4. Esercizio 4. Data una successione di variabili aleatorie (Xn)n∈N indipendenti, identicamente distri- buite e in L2, con E[Xn] = Var(Xn) = 1, si studi la convergenza in legge…