Exercise 11 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 11 - Soluzione Equazioni non lineari Esercizio 1 Si consideri il problema del calcolo del valoreα∈I = [0,π ] tale che α = 1 + 1 2 sinα. a) Utilizzando opportunamente la visualizzazione di funzioni in Matlab, si determini se il metodo di bisezione è applicabile per calcolareα. In seguito, si derivi una stima teorica del numero di iterazioni del metodo di bisezione necessarie per approssimareα con una tolleranza inferiore a10−3. Infine, si verifichi mediante qssbisez che il numero effettivo di iterazioni rispetta la stima. b) Si consideri ora il metodo di punto fisso seguente x(k+1) =φ(x(k)) = 1 + 1 2 sinx(k), x (0)∈I. Si provi che il metodo èglobalmente convergente su I, ovvero chelimk→∞x(k) =α∀x(0)∈I. Inoltre, si provi che l’errore di approssimazione soddisfa la stima |x(k)−α|≤ Ck|x(0)−α|. Infine, si dia una stima della costanteC e la si usi per stimare il numero di iterazioni necessarie per approssimare α con una tolleranza inferiore a10−3. c) Per il metodo di punto fisso in b), si vuole adottare un criterio di arresto basato sull’incremento, ovvero l’algoritmo si arresta non appena si abbia |x(k)−x(k−1)|≤ ε. Si mostri come questo criterio garantisca chex(k) soddisfi |x(k)−α|≤ ε 1−C. Si fornisca il valore diε che occorre scegliere per calcolare una approssimazione diα con un errore minore ditoll = 10−3. Implementare in Matlab il metodo di punto fisso scrivendo una function che riceva in ingresso la funzioneφ, x(0), ε e un numero massimo di iterazioni, e restituisca in uscita il valorex(k) con il numero dik di iterazioni effettuate, function [alpha,niter]=fixed_point(phi,x0,epsilon,kmax) La funzione deve utilizzare il criterio d’arresto descritto. Si…