Exercise 12

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Probabilit`a 2019/2020 — Esercizi 12 Catene di Markov. Esercizio 1. Sia (Xn)n≥0 una catena di Markov, con spazio di stato E = {1,2,3}, legge iniziale v = (0,1,0) e matrice di transizione P =   1/2 1 /2 0 1/3 1 /3 1 /3 0 4 /5 1 /5  . (a) Tracciare il grafo della catena di Markov e classificarne gli stati. (b) Calcolare la legge congiunta di (X0,X 1) e di (X1,X 2). (c) Calcolare E[Xn+1 |Xn], per ognin = 0,1,... Esercizio 2. Sia (Xn)n≥0 una catena di Markov con spazio di stato E = {0,1,2} e matrice di transizione P =   1/2 1 /2 0 0 1 /3 2 /3 1/2 0 1 /2  . (a) Disegnare il grafo della catena e classificarne gli stati. (b) Determinare la matrice di transizione a due passi. Supponendo che la legge diX0 sia descritta dal vettorev = ( 1 4, 1 2, 1 4 ), calcolare: (c) legge, valore atteso e varianza di X1; (d) la legge congiunta di (X0,X 2) e (X1,X 3); (e) E[Xn+2 |Xn], per ognin = 0,1,... Esercizio 3. Un certo dispositivo elettronico pu `o trovarsi in tre stati: A perfettamente funzionante, B parzialmente funzionante,C non funzionante. Nello stato A il dispositivo pu `o eseguire 2000 operazioni al secondo, nello stato B solo 1000 e nello statoC nessuna. Se un dato giorno il dispositivo `e nello statoA, il giorno successivo sar`a nello statoA con probabilit`a 2/3, nello statoB con probabilit`a 1/4 e nello statoC con probabilit`a 1/12. Se un dato giorno il dispositivo `e nello statoB, il giorno successivo sar`a nello statoB con probabilit`a 1/2 e nello statoC con probabilit`a 1/2. Se un dato giorno il dispositivo `e nello statoC, il giorno successivo sar`a nello statoC con probabilit`a 1. Sia ora Xn, n = 0,1,... , il numero di operazioni al secondo che il dispositivo pu `o eseguire il giorno (n + 1)-esimo. a) Determinare il grafo e la matrice di transizione della catena di…