Exercise 12

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Probabilit`a 2018/2019 - Esercizi 12 Catene di Markov. Esercizio 1. Sia (Xn)n≥0 una catena di Markov, con spazio di stato E ={1, 2, 3}, legge iniziale v = (0, 1, 0) e matrice di transizione P =   1/2 1 /2 0 1/3 1 /3 1 /3 0 4 /5 1 /5  . (a) Tracciare il grafo della catena di Markov e classificarne gli stati. (b) Calcolare la legge congiunta di ( X0,X 1) e di (X1,X 2). (c) Calcolare E[Xn+1|Xn], per ogni n = 0, 1,... Esercizio 2. Sia (Xn)n≥0 una catena di Markov con spazio di statoE ={0, 1, 2} e matrice di transizione P =   1/2 1 /2 0 0 1 /3 2 /3 1/2 0 1 /2  . (a) Disegnare il grafo della catena e classificarne gli stati. (b) Determinare la matrice di transizione a due passi. Supponendo che la legge di X0 sia descritta dal vettore v = ( 1 4, 1 2, 1 4), calcolare: (c) legge, valore atteso e varianza di X1; (d) la legge congiunta di ( X0,X 2) e (X1,X 3); (e) E[Xn+2|Xn], per ogni n = 0, 1,... Esercizio 3. Un certo dispositivo elettronico pu` o trovarsi in tre stati: A perfettamente funzionante, B parzialmente funzionante, C non funzionante. Nello stato A il dispositivo pu` o eseguire 2000 operazioni al secondo, nello stato B solo 1000 e nello stato C nessuna. Se un dato giorno il dispositivo ` e nello stato A, il giorno successivo sar` a nello statoA con probabilit` a 2/3, nello statoB con probabilit` a 1/4 e nello statoC con probabilit` a 1/12. Se un dato giorno il dispositivo ` e nello stato B, il giorno successivo sar` a nello stato B con probabilit` a 1/2 e nello stato C con probabilit` a 1/2. Se un dato giorno il dispositivo ` e nello stato C, il giorno successivo sar` a nello stato C con probabilit` a 1. Sia ora Xn, n = 0, 1,... , il numero di operazioni al secondo che il dispositivo pu` o eseguire il giorno (n + 1)-esimo. a) Determinare il grafo e la matrice di…