Exercise 12 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 12 - Soluzione Equazioni non lineari (2) Esercizio 1 Si considerino le due equazioni seguenti, nell’intervallo[0.5, 2] : f (x) = ln( x) = 0 , (1) g(x) = 1− x + ln(x) = 0 . (2) a) Dal grafico di f, g e delle loro derivate, discutere le proprietà di convergenza del metodo di Newton per tutti gli zeri, valutando l’opportunità di applicare il metodo di Newton modificato. Noto il valore esatto delle radici, se ne valutino le molteplicità. b) Considerando lo sviluppo di Taylor al second’ordine di f e g in un intorno di x = 1 , trovare gli esponenti p e q tali che f (x) = (1− x)pF (x), (3) g(x) = (1− x)qG(x), (4) con F, G funzioni tali che F (1)̸= 0 , G(1)̸= 0. Basandosi su tale risultato, provare che il metodo di Newton per l’approssimazione della radiceα = 1 può avere ordine 2 solo se applicato af. c) Per la funzioneg, provare che il metodo modificato x(k+1) = x(k)− 2 g(x(k)) g′(x(k)) converge localmente adα = 1 con ordine 2. d) Scrivere una funzione Matlabnewton.m che implementi il metodo di Newton; la funzione — riceve in input la guess inizialex0, la tolleranzatoll, il numero massimo di iterazioninmax, la funzione fun, la sua derivatadfun e la molteplicità della radicemol. — restituisce in output il vettore x_vect delle iterate e il numeroit di iterazioni effettivamente eseguite. Si utilizzi un criterio d’arresto basato sul modulo della differenza tra due iterate successive. La function newton.mdevecomportarsicomeilmetododiNewtonclassicoocomeilmetododiNewtonmodificato x(k+1) = x(k)−mol f (x(k)) f′(x(k)) a seconda del valore della molteplicità passata come argomento. L’intestazione della funzione sarà ad esempio la seguente :…