Exercise 14

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 14 Interpolazione polinomiale (2) Esercizio 1 Si consideri la funzione : f(x) =e−x2 sin(x), con x∈ [a,b ]. Si prendano gli estremia =−2 e b = 3. a) Si calcoli il polinomio interpolante composito lineareΠH 1 f sun = 3 sottointervalli di uguale ampiezza H = (b−a)/n, si utilizzi la funzioneinterp1, e se ne disegni il grafico insieme a quello della funzione f(x). b) Si calcoli l’errore in norma infinito εH = max x∈[a,b] ⏐⏐f(x)− ΠH 1 f ⏐⏐. c) Si calcoli ora il polinomio interpolante composito lineareΠH 1 f sun = 4, 8, 16, 32, 64, 128 sottointervalli di uguale ampiezza. Si valuti l’errore in norma infinitoεH in ciascun caso e se ne visualizzi l’andamento in funzione diH su un grafico in scala logaritmica su entrambi gli assi. Verificare graficamente che ci sia accordo con la stima teorica dell’errore : εH≤ H 2 8 max x∈[a,b] |f′′(x)|. Esercizio 2 Si consideri la funzione f(x) = 1 1 +x, x ∈I = [0, 1]. a) Determinare il numero minimoN di intervalli uniformi (di lunghezzah = 1/N) tale per cui il polinomio lineare a tratti che interpola la funzionef fornisca un errore massimo inferiore a10−5. b) Si considerino i puntix0 = 0, x1 = 1/2, x2 = 1. Trovare i coefficientia0 e a1 del polinomiop(x) = a0 +a1x di grado 1 che interpolaf nei puntixi (i = 0, 1, 2) nel senso dei minimi quadrati (retta di regressione), minimizzando la funzione “distanza polinomio-dati” seguente : Φ(a0,a 1) = 2∑ i=0 [f(xi)−p(xi)]2 = 2∑ i=0 [f(xi)−a0−a1xi]2. Sugg. : imporre le condizioni di minimo∂Φ ∂a0 = ∂Φ ∂a1 = 0 per calcolarea0,a 1. 1 Esercizio 3 Sono state svolte delle prove a trazione su una nuova lega per determinare la relazione tra losforzo σ (forza per unità di superficie) e…