Exercise 15 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 15 - Soluzione Integrazione numerica Esercizio 1 Sia g una funzione continua definita sull’intervallo [−1, 1]. Si prendano tre punti di interpolazione t0 = −1,t 1 = α e t2 = 1, doveα è un numero reale tale che|α| < 1. Per approssimare l’integrale ∫ 1 −1g(t) dt, si consideri la formula di quadratura seguente : I2(g) = 2∑ j=0 wjg(tj) =w0g(−1) +w1g(α) +w2g(1). (1) a) Trovare i pesiw0,w 1 ed w2 in funzione diα tali che la formula (1) abbia grado di esattezza 2. b) Trovare inoltreα tale cheI2(p) = ∫ 1 −1p(t) dt per tutti i polinomip di grado 3. c) Riscrivere la formula per approssimare l’integrale ∫b a f(x) dx, utilizzando il cambio di variabili T : [−1, 1]→ [a,b ], x =T (t) = 1 2 [(a +b) +t(b−a)], e ponendog(t) =f(T (t)). Cosa si osserva? Soluzione 1 a) Poniamog0(t) =t0≡ 1,g 1(t) =t,g 2(t) =t2. Deve, dunque, essere I2(g0) =w0 +w1 +w2 = ∫ 1 −1 1 dt = 2, I2(g1) =−w0 +αw1 +w2 = ∫ 1 −1 t dt = 0, I2(g2) =w0 +α2w1 +w2 = ∫ 1 −1 t2 dt = 2/3, da cui w0 = 1 + 3α 3(1 +α), w 1 = 4 3(1−α2), w 2 = 1− 3α 3(1−α). b) In questo caso deve valere anche I2(t3) =−w0 +α3w1 +w2 = ∫ 1 −1 t3 dt = 0 da cui si ottiene l’equazione4α(α2− 1) = 0 ; poiché deve essere|α| < 1, la soluzione accettabile è α = 0, e quindi w0 =w2 = 1/3, w 1 = 4/3. 1 c) Introduciamo la trasformazioneT : [−1, 1]→ [a,b ], T (t) = 1 2 [(a +b) +t(b−a)]. Data una funzione f ∈ C([a,b ]), poniamo g(t) = f(T (t)). Grazie al teorema del cambio di variabili di integrazione, abbiamo ˜I(f) = ∫ b a f(x) dx = ∫ 1 −1 f(T (t))|T′(t)| dt = b−a 2 ∫ 1 −1 g(t) dt = b−a 2 I(g). La formula di quadratura “mappata” sul nuovo intervallo[a,b ] si scriverà allora ˜I2(f) = b−a 2 I2(g) = b−a 2 [ w0f(a) +w1f (a +b 2 ) +w2f(b) ] ,…