Exercise 16 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 16 - Soluzione Equazioni differenziali ordinarie Esercizio 1 Sia dato il seguente problema di Cauchy { y′(t) = f(t, y(t)), t ∈ (t0, t0 + T ], y(t0) = y0, (1) con f(t, y) funzione sufficientemente regolare. Dimostrare che il metodo di Heun è consistente di ordine 2. Soluzione 1 Il metodo di Heun si scrive nella forma    un+1 = un + h 2 [ f(tn, un) + f ( tn+1, un + hf(tn, un) )] , n ≥ 0, u0 = y0. (2) per cui, dalla definizione di errore di troncamento locale, si ricava ϵn+1(h) = y(tn+1)− y(tn)− h 2 [f(tn, y(tn)) + f(tn+1, y(tn) + hf(tn, y(tn))] = y(tn+1)− y(tn)− h 2 [f(tn, y(tn)) + f(tn+1, y(tn+1))] − h 2 [f(tn+1, y(tn) + hf(tn, y(tn))− f(tn+1, y(tn+1))]. Riscrivendo il terminey(tn+1)− y(tn) in forma integrale, avremo ϵn+1(h) = ∫ tn+1 tn f(t, y(t))dt− h 2 [f(tn, y(tn)) + f(tn+1, y(tn+1))] − h 2 [f(tn+1, y(tn) + hf(tn, y(tn))− f(tn+1, y(tn+1))] =− h3 12 d2 dt2 f(t, y(t))|t=ηn− h 2 [f(tn+1, y(tn) + hf(tn, y(tn))− f(tn+1, y(tn+1))], dove l’ultima uguaglianza deriva dalla formula dell’errore per la formula di quadratura del trapezio. Applicata all’intervallo [tn, tn+1], l’errore di approssimazione ottenuto con la formula del trapezio risulta pari a ∫ tn+1 tn f(t, y(t))dt− h 2 (f(tn, y(tn)) + f(tn+1, y(tn+1)) =− h3 12 d2 dt2 f(t, y(t))|t=ηn . Si ha quindi |τn+1(h)| = ⏐⏐⏐ϵn+1(h) h ⏐⏐⏐ ≤ O(h2) + 1 2 L|y(tn) + hf(tn, y(tn))− y(tn+1)| ≤ O(h2) + L 2 hO(h) =O(h2) e di conseguenza τ(h) = max 0≤n≤N−1 |τn+1(h)| =O(h2), cioè il metodo è di ordine 2. 1 Esercizio 2 Per l’approssimazione numerica del generico problema di Cauchy (1) si consideri il seguente metodo : dato u0 = y0, per n≥ 0    un+1/2 = un + h 2 f(tn, un), pn = f(tn + h 2 , un+1/2), un+1 =…