Exercise 18

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 18 Sistemi di equazioni differenziali ordinarie Esercizio 1 Si consideri il problema di Cauchy { y′(t) = −2y(t) + 2e−t√ y(t), t ∈ [1, 3] y(1) = e−2 la cui soluzione esattay(t) è una funzione positiva decrescente. a) Scrivere i metodi di Eulero in avanti e di Eulero all’indietro per approssimare la soluzioney(t) del problema di Cauchy dato. Qual è l’ordine dei due metodi? b) Determinare per quali valori dih la condizione di stabilità assoluta per il metodo di Eulero in avanti è soddisfatta, sapendo che √ y(t)>e−t/2. c) Riscrivere il metodo di Eulero all’indietro sotto la forma un+1 =φ(un+1;h,t n,u n) e scrivere il metodo delle iterazioni di punto fisso per risolvere questa equazione. Per quali valori dih il metodo delle iterazioni di punto fisso risulta convergente? Esercizio 2 Si consideri il seguente sistema differenziale di ordine 2 :    u′′(t) +cu′(t) +ku(t) = 0, t> 0, u(0) = u0, ˙u(0) = v0, dovec e k sono costanti reali positive. a) Si ponga w(t) = [ w1(t),w 2(t)]T = [ u(t),u′(t)]. Scrivere l’equazione precedente sotto forma di un sistema 2×2 di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine : w′(t) = A w(t). (1) Fornire l’espressione della matriceA. b) Scrivere gli schemi di Eulero in avanti (o Eulero Esplicito) ed Eulero all’indietro (o Eulero Implicito) perrisolvereilprecedentesistema.Inseguito,siconsiderilatrasformazionedisimilitudine A = VDV−1 che diagonalizza A e si consideri il cambio di variabiliw(t) = V x(t). Che caratteristiche ha il sistema (1) riscritto rispetto alla nuova variabilex? c) Si consideri il casoc = 5 ek = 6. Usando il cambio di variabili introdotto al punto b), trovare i valori del passo temporaleh che…