Exercise 19 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 19 - Soluzione Metodi multipasso per eq. diff. ordinarie Richiami di teoria Consideriamo il seguente problema di Cauchy : dati un intervalloI ⊂ R, t0∈ I, y0∈ R, e una funzione f :I× R→ R, trovare una funzione realey∈C 1(I) tale che { y′(t) =f(t,y (t)), t ∈I, y(t0) =y0. (1) Per la sua risoluzione numerica, possiamo introdurre un generico metodo ap + 1 passi lineare, come segue : Definizione 0.1 (Metodo ap + 1 passi lineare) Dati u0,...,u p, si calcola un+1 = p∑ j=0 ajun−j +h p∑ j=0 bjfn−j +hb−1fn+1, n =p,p + 1,...,N h− 1. (2) Possiamo dunque scrivere il seguente risultato di consistenza per il metodo appena definito : Teorema 1 (Consistenza dei metodi a più passi lineari)Il metodo (2) è consistente se e solo se i) p∑ j=0 aj = 1, ii ) − p∑ j=0 jaj + p∑ j=−1 bj = 1. (3) Inoltre, sey∈Cq+1(I), q≥ 1, I = [t0,t 0 +T ], ovey è soluzione di (1), allora (2) è consistente di ordineq se e solo se, oltre alla (3), sono verificate le seguenti relazioni algebriche, p∑ j=0 (−j)iaj +i p∑ j=−1 (−j)i−1bj = 1, i = 2,...,q. (4) Per valutare la stabilità del metodo, ci occore definire il concetto di polinomi caratteristici. Si osservi come le soluzioni della formaun =rn dell’equazione alle differenze (2) sono tali che  rp+1− p∑ j=0 ajrp−j      ρ(r) −hλ   p∑ j=−1 bjrp−j      σ(r) = Π(r;hλ) =ρ(r)−hλσ(r) = 0. (5) Chiamiamo ρ, σ∈ Pp+1 rispettivamente ilprimo e secondo polinomio caratteristicoassociato al metodo (2). Le radici diρ si indicano semplicemente conrj, j = 0,...,p , dover0 = 1 per la condizione (3)-i. Definizione 0.2 (Condizione delle radici)Il metodo (2) soddisfa lacondizione delle radicise le radici rj sono contenute nel disco unitario, e le radici…