Study material for Fondamenti di Automatica, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Study material for Fondamenti di Automatica, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Import quality: text was extracted directly from the original document.
Representative passages recognised in different parts of the material. The full extracted text remains available to search, while this compact preview makes the page easier to read.
1) RISPOSTA LIBERA I Y( + ) A x( + ) + Bu(t) x = stato del sistema ( = - A( + 1) sistema LTI formula di Lagrange et(t to) xo - u = ingresso - X() = . + . B u(t)de - y( +) = C - X( + ) + D y(t) - y = uscita movimento libero movimento forzato (dipende dall’ingresso) • Trova la risposta libera Risposta libera: come evolve la x considerando un ingresso u nullo? X(+ ) = eA(t to) xo - . A è diagonalizzabile se e solo se A ha n autovalori distinti. ➞ Se A è diagonalizzabile, la risposta libera può essere scritta come la combinazione lineare dei modi e λ₁ …e λₙ t + Nei sistemi dinamici lineari, i modi sono la parte di soluzione eλt dell’equazione omogenea associata al sistema x(t) = C⋅e^λt dove: λ è un autovalore del sistema (reale o complesso) Quindi devo calcolare gli autovalori: risolvo l’equazione caratteristica det (xI A) - = 0 TE 15/02/25 ↑ calcola il movimentno libero dello stato con x₁(0) , x₂(0)≠0. x10 us = 1)Xz( + ) dipende solo da se stesso ➞ x2( +) = ett Xo . = est xz(0) - 2) ẋ₁(t) = E' xeo . + [ élt - 1) . x215) . de = étx) + et/e esx10d . = etx et + . [x0 ex-ex = u(t) = Xz TE 27/08/20 * (ii) sti) ( 11) D = calcola il movimento libero dello stato con x(0) = [1 2 0]ᵀ ex ét - & t X . = x₁ e x₃ dipendono da se stessi: = X , 1+ ) = e x X3(t) = 0 X3 = e93 + x3 = 1 %0 0 10x3 = x3 = + Bult) x₂ dipende da x₁ che chiamo u(t) 4214) = 4x , - xnee u( = 4x) - Xi( = Let de = ce ++ et) e e dx = + ce + ve + (di = 2e + + + et TE 26/01/21 1.2) Calcolare il movimento libero dell’uscita a partire dallo stato iniziale x(0) = [1 0]ᵀ (i) B = (2) fu 2) d = 3 2t 0 e2t I u = x₁ dipende da se stesso: Xi = 1 'é = a 22 Bu(t) = x + ( +) 4x Est ext) (2) Seht-geit - , cit 1) y = - 2x = - 2Xz X2 = 22t - 4x2u() = e2t quindi xn(t = 0 . +t e - . =ade = de = . 2) STABILITÀ sistema asintoticamente…
2.2) MATRICI DI JORDAN J 2 1 0 0 2 0 Matrice di Jordan è una qualsiasi matrice diagonale che ha oltre a 0 anche degli 1 sulla sovradiagonale sovradiagonale ➞ quella appena sopra la diagonale principale 0 0 2 Nelle Matrici di Jordan, gli autovalori λ si trovano sulla diagonale principale (come sempre) Ripasso Algebra lineare: ma = molteplicità algebrica quante volte un autovalore annulla il polinomio caratteristico (o quante volte un λ appare sulla diagonale principale della MdJ). mg = molteplicità geometrica Quanti autovettori linearmente indipendenti ci sono per quell’autovalore (o numero di miniblocchi relativi all’autovettore) mg = n - rango(A-λᵢ I ) & posso suddividere la MdJ in sottoblocchi, detti miniblocchi. esempio Numero di miniblocchi relativi all’autovettore: ➞ sottomatrice più grande possibile, con diagonale formata dalla diagonale principale, e grande fino a quando non “ingloba” gli 0 sulla sovradiagonale. J 2 1 0 0 2 0 ma(2) = 3 Nel nostro caso ne trovo 2: una che comprende solo 2 , l’altra [2x2] data la presenza di 1. 0 0 2 mg(2) = 2 Se tra due autovalori consecutivi (cioè sulla diagonale) c’è un 1 sopra, allora fanno parte dello stesso blocco di Jordan Se non c’è un 1, allora inizia un nuovo blocco -1) η = dimensione del i modi per le matrici di Jordan sono diversi: et , tet ,..., et miniblocco più grande costante di tempo dominante ➞ costante di tempo più grande, associata ai modi del sistema T tempo di assestamento ➞ tempo che passa da t₀ finchè il sistema raggiunge 0. È legato alla costante di tempo dominante del sistema. consideriamo il tempo di assestamento pari a: tₐ = 5τ τ = costante di tempo = IRe(x) 3) LINEARIZZAZIONE Sia dato un sistema non lineare (sempre tempo invariante) [ f,g sono funzioni non lineari. dipendono da uno stato x(t) ed un…
5) SCHEMA A BLOCCHI So che la FdT permette di scrivere la relazione tra ingresso e uscita: Y(s) = G(s) U(s) Si possono creare dei sistemi, unendo tra loro, in serie o in parallelo, più FdT. Possiamo rappresentare le FdT con il seguente schema a blocchi: Gesel = N Ga = I poli e gli zeri del sistema sono al massimo l’unione dei poli delle due G. potrebbero esserci delle semplificazioni di poli/zeri u y Serie di FdT Gro+ (1) G1 Gz MNz Il sistema totale è AS se lo sono i due sottosistemi G₁ e G₂ . G₁(s) G₂(s) · = = D Dz . I poli del sistema, anche qui, sono al massimo l’unione dei poli delle due G. G₁(s) u & y Gli zeri si modificano (numeratore diverso) NiDz + N2D Parallelo di FdT t Go + (1) = G1 + 62 = Il sistema totale è AS se lo sono i due sottosistemi G₁ e G₂ . D Dz . G₂(s) • G₁(s) è la fdT di ANDATA (lega la u ad y ad anello aperto, cioè se non ci fosse la retroazione) • G₂ (s) è la fdT di RETROAZIONE + ↓ nodo di confronto positiva: G tot = 1 - 62 • L(s) = G₁∙G₂ è la fdT ad ANELLO Retroazione u y G₁(s) La retroazione è negativa se la linea di retroazione (anello chiuso) entra nel sommatore con segno (−). altrimenti è positiva. - La retroazione è l’unica che modifica i poli dei due sottosistemi G₁ e G₂ . I G₂(s) negativa: Grot Gi = La stabilità non dipende quindi da G₁ e G₂ . 1 + 6 1 62 numeratore: FdT del segnale diretto , denominatore: 1 + FdT dell’anello chiuso Tempo si risposta del sistema completo ➞ devo trovare il modo del sistema piu lento (l’autovalore con la parte IRe più piccola in modulo!) 6) RISPOSTE CANONICHE Risposta allo scalino u(t) = sca(t) La risposta la calcolo nel dominio di ℒ ➞ 1 Y(s) = G(s) U(s) dove U(s) = ℒ [u(t) ] = ℒ [sca(t) ] = — s ricavo y(t) da Y(s), con l’antitrasformata ℒ⎺¹ ➞ Sviluppo di Heaviside: scompongo una funzione razionale…
Grado relativo di una fdt indica quanto è "lento" il sistema a reagire all’ingresso e quale sarà il comportamento iniziale della risposta. corrisponde a: r = grado den - grado num Calcolo tante derivate quanto è r. r=0: salto iniziale (discontinuità) Come parte graficamente la curva: r=1: rampa iniziale (pendenza ≠ 0) Indica la prontezza del sistema: più basso è r, più il sistema è reattivo (quasi impulsivo) r=2: curva parte piatta (pendenza zero, ma concavità ≠ 0) r≥3: curva parte più lentamente (serve più tempo a “muoversi”) = ↳mae Legami tra scalino ed altri ingressi canonici impulso = derivata dello scalino: imp(t) scal quindi 2 (imp( + ) = 1 risposta dell’impulso: rampa = integrale dello scalino: ramp (+ ) = (sca(t)di quindi 2[ramp(+ ] = 52 risposta della rampa: a Se ad un sistema lineare con G(s) esternamente stabile, ed applico un ingresso sinusoidale u(t) = Asin(ωt), allora TEOREMA DELLE RISPOSTE IN FREQUENZA l’uscita, a transitorio esaurito , che si indica con y∞ (t) , assume la forma: y * (+ ) = G(iw) Asin(w+ + G(iw) indipendentemente dallo stato iniziale. 7) DIAGRAMMA DI BODE DIAGRAMMA DEL MODULO DIAGRAMMA DELLA FASE Viene rappresentato il modulo | G(jω) | in funzione della pulsazione ω. Entrambi in scala logaritmica: Viene rappresentata la fase ∠G(jω) in funzione della pulsazione ω. La fase è espressa in scala • | G(jω) | convertiti in dB ➞ | G(jω) |dB lineare, mentre ω sempre in scala logaritmica₁₀ . • ω in scala logaritmica di base 10 zeri reali zeri cc µ ( + e + z)(1 29 ++ forma canonica G(s) = —— sg (1 + 1Tp) s² + ——2ξ —— s+1 ωₚ² ωₚ poli reali poli cc tipo del sistema esponente g ➞ indica il numero di poli nell’origine. In base al suo valore calcolo il guadagno guadagno influenza il punto in cui parte la funzione: se g = 0 calcolo il guadagno statico in…
First page of the document.
