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Formulario Fisica delle Onde Nome Formula Formula Note Equazione di d’Alambert 2D 𝜕2𝜉 𝜕𝑥2− 1 𝑣2 𝜕2𝜉 𝜕𝑡2 =0 𝑣 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑑𝑒𝑙𝑙′𝑜𝑛𝑑𝑎 𝜉=𝜉(𝑥±𝑣𝑡) funzione che descrive il campo. + per onda regressiva, - per onda progressiva Equazione di d’Alambert 3D ∇2𝜉− 1 𝑣2 𝜕2𝜉 𝜕𝑡2 =0 ∇2= 𝜕2 𝜕𝑥2+ 𝜕2 𝜕𝑦2+ 𝜕2 𝜕𝑧2 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 Onda armonica piana 𝜉=𝜉0sin(𝑘𝑥−𝜔𝑡) 𝑘= 2𝜋 𝜆 numero d’onda 𝜔=2𝜋𝑓= 2𝜋 𝑇 =𝑘𝑣 pulsazione Lunghezza d’onda e numero d’onda 𝜆=2𝜋 𝑘 Frequenza 𝑓= 𝜔 2𝜋=1 𝑇 T periodo dell’onda Frequenza, velocità e lunghezza d’onda 𝜆𝑓=𝑣 Onda armonica piana 3D 𝜉=𝜉0sin(𝑘⃗ ⋅𝑟 −𝜔𝑡) Il vettore d’onda è diretto come la direzione di propagazione dell’onda Velocità di fase 𝑣𝑓 =𝜔 𝑘 La velocità di fase è minore della velocità di gruppo tranne che nei conduttori ideali dove la velocità di gruppo è pari al doppio di quella di fase Un mezzo è non dispersivo se 𝑣𝑓 =𝑣𝑔 Onda in forma esponenziale 𝜉=𝜉0𝑒[𝑖(𝑘𝑟−𝜔𝑡)] exp(𝑖𝛼)=cos𝛼+𝑖sin𝛼 Rappresentazione di una funzione mediante analisi di Fourier 𝑋(𝑥)= 𝐴0+∑[𝐴𝑛cos(2𝑛𝜋𝑥 2𝐿 )+𝐵𝑛sin(2𝑛𝜋𝑥 2𝐿 )] +∞ 𝑛=1 2L periodo spaziale della funzione (se la funzione è funzione del tempo si sostituisce 2L con p, periodo temporale) e x con t Coefficienti dell’Analisi di Fourier 𝐴0=1 𝐿∫ 𝑋(𝑥)𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 𝐴𝑛=1 𝐿∫ 𝑋(𝑥)cos(2𝑛𝜋𝑥 2𝐿 )𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 𝐵𝑛=1 𝐿∫ 𝑋(𝑥)sin(2𝑛𝜋𝑥 2𝐿 )𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 𝐴0 corrisponde al valore medio della funzione sul periodo Serie di Fourier in forma esponenziale 𝑋(𝑥)= ∑ 𝐶𝑛ei(2nπx 2L ) +∞ 𝑛=−∞ 𝐶𝑛= 1 2𝐿∫ 𝑋(𝑥)exp(𝑖⋅2𝜋𝑛𝑥 2𝐿 )𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 Integrale di Fourier per funzioni aperiodiche 𝑋(𝑥)= 1 √2𝜋 ∫ 𝐾(𝑘)exp(𝑖𝑘𝑥)𝑑𝑘 ∞ −∞ 𝐾(𝑘) è la trasformata di Fourier di 𝑋(𝑥) e 𝑘= 2𝜋 𝜆 è la frequenza spaziale che varia con continuità Trasformata di Fourier di una funzione aperiodica 𝐾(𝑘)= 1 √2𝜋 ∫ 𝑋(𝑥)exp(−𝑖𝑘𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ Relazione tra larghezza dell’impulso e banda di frequenze della trasformata di Fourier Δ𝜔Δ𝑡=2𝜋…