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Esercitazione di laboratorio del 31-5-2011 Esercizio 1: Legge di controllo e ricostruzione dello stato; progetto del regolatore Sia dato il sistema lineare a tempo discreto definito dalle seguenti matrici:               411 123 112 A            1 0 1 b  100c d = 0 a) Verificare che è instabile; b) verificare che è possibile stabilizzarlo con un regolatore lineare; c) determinare, se esiste, un regolatore stabilizzante che annulli la durata di tutti i transitori in tempo finito. Esercizio 2: Legge di controllo e ricostruzione dello stato; progetto del regolatore Si consideri il sistema meccanico (carrello con pendolo inverso) riportato in figura: Il carrello, di massa , è in moto rettilineo sotto l’azione di una forza e porta incernierata un’asta di massa trascurabile e lunghezza , al cui estremo è presente una massa concentrata di valore . Alla cerniera dell’asta è possibile esercitare una coppia . Detta la posizione del carrello e la posizione angolare dell’asta, misurata c ome in figura, il modello matematico del sistema è il seguente: Si noti che il sistema è non lineare; linearizzando le equazioni intorno allo stato di equilibrio caratterizzato da posizioni e velocità (lineari ed angolari) nulle e da forzanti (forza e coppi a) nulle, esplicitando le derivate seconde si ottiene: Si ponga 1. Posto , si ricavino le matrici A, B, C e D del sistema linearizzato. 2. Si verifichi che il sistema è raggiungibile e osservabile utilizzando come ingresso e uscita rispettivamente la forza e la posizione del carrello, e che invece risulta non raggiungibile, né osservabile, qualora si utilizzino come ingresso e uscita rispettivamente la coppia e la posizione dell’asta. 3. Si progetti una legge di controllo con retroazione dello stato che, agendo…