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Metodi Analitici e Numerici per l’Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 26/1/2023 • Non si possono consultare libri, note, ed ogni altro materiale o persone durante l’esame ad eccezione delle funzioni Matlab fornite. • Risolvere i seguenti esercizi con l’ausilio di Matlab. • La durata del compito ` e di 90 minuti. • Questo esame ha 3 domande, per un totale di 30/30 punti. • Svolgere gli esercizi su fogli protocollo, indicando: nome, cognome, codice persona e data • Per ciascun esercizio consegnare su webeep un file nominato, ad esempio, “eser- cizio1.m” con il codice Matlab sviluppato. • Per utilizzare le funzioni Matlab sviluppate durante il corso, ` e necessario aggiun- gere la cartella con il comando addpath functions2022 . Esercizio 1 (punti 10) Si consideri il seguente problema di Cauchy { y′(t) =−2y(t) + 4t + 4, 0 < t≤ 1, y(0) = 2. (a) (3 punti) Si calcoli un’approssimazione della soluzione all’istante t = 1 utilizzando il metodo di Eulero all’indietro ( eulero indietro.m) con passo di discretizzazione h = 0 .04 e si riporti il valore della soluzione all’istante t = 1 in format long . Sapendo che la soluzione esatta ` e y(t) = e−2t + 2t + 1, si calcoli l’errore all’istante t = 1 e lo si riporti in format long . [M] (b) (3 punti) Si ripeta il punto precedente con diversi valori del passo di discretizzazione h = 0.02 e h = 0.01 e si rappresentino gli errori per i tre valori di h in un grafico in scala logaritmica. [M] (c) (4 punti) Dopo aver richiamato la definizione di convergenza, si richiami la stima di convergenza per il metodo considerato e la si confronti con i risultati numerici ottenuti. [T+M] Metodi Analitici e Numerici per l’Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 26/1/2023 Esercizio 2 (punti 10) Si tracci il grafico della funzione f(x) = ex+1 cos(x) + 2 nell’intervallo I =…