prima prova 13 04 2022 soluzione

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Fondamenti di Automatica Prof. Incremona 13 Aprile 2022 SOLUZIONE Fondamenti di Automatica Proff. Giulio Panzani, Paolo Rocco e Gian Paolo Incremona Prima prova intermedia 13 aprile 2022 Esercizio 1 Si consideri il sistema dinamico non lineare tempo invariante in forma di stato: ˙x1 = x1x2 + x2 sin(u) ˙x2 = x2 2 − cos(u) y = x1 + x2u Domanda 1.1 Si determinino gli stati e le uscite di equilibrio corrispondenti all’ingresso u = ¯u = 0. All’equilibrio si ha: 0 = ¯x1¯x2 0 = ¯x2 2 − 1 ¯y = ¯x1 Gli stati di equilibrio sono: ¯x1 = 0, ¯x2 = ±1, L’uscita di equilibrio in entrambi i casi ´ e invece y = 0. Domanda 1.2 Si determini l’espressione del sistema linearizzato intorno allo stato di equilibrio calcolato al punto precedente e caratterizzato da ¯x2 > 0, e si valuti la stabilit` a dell’equilibrio. Il sistema linearizzato nell’intorno del generico equilibrio ` e dato da δ ˙x1 = ¯x2δx1 + (¯x1 + sin(¯u))δx2 + ¯x2 cos(¯u)δu δ ˙x2 = 2¯x2δx2 + sin(¯u)δu δy = δx1 + ¯uδx2 + ¯x2δu Per l’equilibrio considerato si ha δ ˙x1 = δx1 + δu δ ˙x2 = 2δx2 δy = δx1 + δu La matrice A del sistema linearizzato risulta A = 1 0 0 2  La matrice A del sistema linearizzato ha due autovalori a parte reale positiva. Il sistema linearizzato e il corrispondente equilibrio sono quindi instabili. Domanda 1.3 Si determini, utilizzando la definizione, l’espressione della funzione di trasferimento per il sistema linearizzato precedentemente trovato. G(s) = C(sI − A)−1B + D =  1 0  s − 1 0 0 s − 2 −1 1 0  + 1 = s s − 1 Domanda 1.4 Sulla base dell’espressione della funzione di trasferimento ricavata al punto precedente, si spieghi se il sistema ` e completamente raggiungibile e osservabile. Poich` e il grado del denominatore della funzione di trasferimento ` e inferiore all’ordine del sistema lin-…