Raccolta Esercizi TDE 2021

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Analisi e Geometria 2 - 21 Aprile 2021 Parte A Una delle due domande seguenti era proposta in ogni prova. Esercizio 1. Considera la matrice A = 0 @ 1 3 2 2 6 4 1 3 2 1 A : Quale delle seguenti affermazioni  e vera? (1) Il vettore (1 ; 1; 2)T  e autovettore perA relativo all'autovalore 1. (2) Il vettore (1 ; 1; 2)T  e autovettore perA relativo all'autovalore 8. (3) Il vettore (1 ; 2; 1)T  e autovettore perA relativo all'autovalore 1. (4) Il vettore (1 ; 2; 1)T  e autovettore perA relativo all'autovalore 9. Soluzione. (4)  e vera. Infatti, detto X = (1; 2; 1)T , si ha AX = 9X. Esercizio 2. Considera la matrice A = 0 @ 1 3 2 1 3 2 2 6 4 1 A : Quale delle seguenti affermazioni  e vera? (1) Il vettore (1 ; 1; 2)T  e autovettore perA relativo all'autovalore 1. (2) Il vettore (1 ; 1; 2)T  e autovettore perA relativo all'autovalore 8. (3) Il vettore (1 ; 2; 1)T  e autovettore perA relativo all'autovalore 1. (4) Il vettore (1 ; 2; 1)T  e autovettore perA relativo all'autovalore 9. Soluzione. (2)  e vera. Infatti, detto X = (1; 1; 2)T , si ha AX = 8X. Una delle quattro domande seguenti era proposta in ogni prova. Esercizio 3. Data la matrice reale A = 0 @ 1 3 2 6 0 1 1 2 2 5 3 9 1 A ; considera l'applicazione lineare LA : R4 ! R3 de nita come LA(X) = AX per ogni X 2 R4, identi cando Rn con le matrici colonna di tipo n  1. Quale delle seguenti affermazioni  e vera? (1) dim ker(LA) = 0. (2) dim ker(LA) = 1. (3) dim ker(LA) = 2. (4) dim ker(LA) = 3. Soluzione. (2)  e vera. Infatti, dalla teoria sappiamo che dim ker( LA) = 4 r(A). Effet- tuando le operazioni elementari R3 + 2R1 ! R3; R3 R2 ! R3 sulla matrice A otteniamo una matrice ridotta per righe senza righe nulle, e quindi r(A) = 3. In conclusione, dim ker(LA) = 1. Esercizio 4. Data la matrice reale A = 0 BB@ 1 3 2 0…