Raccolta temi desame AA 18 19

Pagina 1

Politecnico di Milano Temi d’esame di 099319-Probabilit` a e statistica p er l’informatica dell’AA 2018/19 per ING-INF (laurea) Docenti: Alberto Barchielli, Giuseppina Guatteri, Lucia Ladelli 18 febbraio 2020 1 2 Ip r o v ai ni t i n e r ed iS t a t i s t i c aeP r o b a b i l i t ` ap e rl ’ I n f o r m a t i c a A. Barchielli, G. Guatteri e L. Ladelli 13.04.2019 Cognome e Nome: Matricola: Docente: ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 1 Domande di teoria D1Enunciare e dimostrare la Formula delle probabilit` a totali. SoluzioneDispense [ELP]: Proposizione 1.5.9, Esercizio 1.5.12. D2Fornire la definizione di varianza di una variabile aleatoria X. Enunciarne le propriet` a e dimostrare che Var(↵X+ )=↵2Var(X),per ogni↵, 2R. SianoX1edX2due variabili aleatorie definite su (⌦,F,P), con varianze 2 1e 2 2rispettivamente e coe ciente di correlazione⇢. Determinare la Cov(X1,X2) in funzione di 2 1, 2 2e⇢. SoluzioneDispense [ELP]: Definizione 3.2.2, Proposizione 3.2.5, Corollario 4.7.6. Si risponde all’ultima domanda applicando la Definizione 4.8.1. D 3 (Domanda facoltativa)Sia (⌦,F,P) uno spazio di probabilit` a edF2Fun evento tale cheP(F)>0. Fornire la definizione di probabilit` a condizionata e dimostrare che la funzionePF, definita daPF(E): =P(E|F),8E2F, ` e una probabilit` a. SoluzioneDispense [ELP]: Definizione 1.5.2, Esercizio 1.5.6. 1 2 Esercizi Esercizio 1Il numero di bit, trasmessi in un’ora dal canaleAe che vengono ricevuti errati, sono una variabile aleatoriaX⇠Poiss(3), mentre il numero di bit, trasmessi in un’ora dal canale Be ricevuti errati, sono una variabile aleatoriaY⇠Poiss(2). I due canali lavorano indipendentemente l’uno dall’altro. 1.SiaZil numero di bit trasmessi in un’ora da entrambi i canali e…