Raccolta temi desame AA 21 22

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Politecnico di Milano Temi d’esame di 099319-Probabilit` a e statistica per l’informatica dell’AA 2020/21 per ING-INF (laurea) Docenti: Federico Bassetti, Ilenia Epifani, Lucia Ladelli 18 febbraio 2022 1 2 I Prova in Itinere di PSI, Bassetti, Epifani, Ladelli, 21.04.2021 © I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Giustificare adeguatamente tutte le risposte. 1 Domande di teoria D 1 Sia X = (X1,X 2,X 3)unvettorealeatorio tridimensionaleconfunzionediripartizione FX(t1,t 2,t 3), (t1,t 2,t 3)∈R3. (a) Cosa vuole dire cheX è un vettore assolutamente continuo di densitàfX? (b) Dimostrare cheX3 è assolutamente continua e determinare la sua densità in funzione della densità fX del vettore. (c) Sia ora W = g(X1,X 2,X 3) una v.a. funzione delle componenti di X. Fornire una condizione sufficiente per l’esistenza del valore atteso diW e fornirne l’espressione utilizzando la densità del vettore X. Soluzione (a) Si veda: Appunti di calcolo delle probabilità, Definizione 4.4.1 pern = 3. (b) Si veda: Appunti di calcolo delle probabilità, Proposizione 4.4.3 e sua dimostrazione pern = 3. (c) Si veda: Appunti di calcolo delle probabilità, Proposizione 4.7.1 seconda parte dell’enunciato. D 2 Sia (Ω, F,P ) uno spazio di probabilità e sianoA,B,C tre eventi. (a) Dire quando gli eventiA,B,C sono a due a due incompatibili; (b) dire quandoA,B,C sono (mutuamente) indipendenti; (c) dire quandoA e B sono condizionatamente indipendenti datoC; (d) seA,B,C sonoindipendenti, alloraAeB sonocondizionatamenteindipendentidato C? Giustificare adeguatamente la risposta. Soluzione (a) Gli eventiA,B,C sono a due a due incompatibili seA∩B =A∩C =B∩C =∅; (b) A,B,C sono (mutuamente) indipendenti se valgono tutte le seguenti fattorizzazioni: P (A∩B) =P(A)P (B), P…