Regressione lineare semplice multipla

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Capitolo 1 Regressione lineare semplice 1.1 Introduzione Supponiamo che x e y siano due grandezze legate da una certa legge y = y(x), cio` e che sussista una qualche relazione funzionale che assegna ad ogni valore di x (input, o valore in ingresso) un determinato valore di y (output, o risposta). Esempio 1. Esempi di relazioni funzionali tra due grandezze diverse sono: (i) x ` e tensione variabile applicata ai capi di una resistenza e y(x) ` e la corrente che passa attraverso la resistenza a quella tensione; in tal caso, la teoria prevede una relazione funzionale del tipo y(x) =Rx, dove R ` e il valore della resistenza; (ii) x ` e il pressione di una mole di gas a temperatura ambiente ey(x) ` e il corrispondente volume; la legge dei gas perfetti ci dice allora che deve essere y(x) = C/x, dove C ` e un’opportuna costante. In generale, tuttavia, la funzione y non ` e nota a priori, oppure ` e nota solo a meno di un certo numero di parametri incogniti (p.es., la resistenza R o la costante C nei due esempi precedenti). Il nostro scopo sar` a pertanto di determinare la funzione y a partire dalla misura delle risposte y1,y 2,...,y n a una serie di valori in ingresso x1,x 2,...,x n, in modo che yi = y(xi) per ogni xi. Non solo: vorremmo anche che la funzione y cos` ı determinata sia in grado di predire la risposta a un qualunque altro ingresso x diverso da x1,x 2,...,x n. Naturalmente, essendo la misura di ogni risposta yi soggetta a un certo grado di imprecisione (o rumore), ci aspettiamo che la nostra funzione y non soddisfi esattamente la relazione yi =y(xi) per ogni i = 1,...,n , ma piuttosto che yi =y(xi) +ei, doveei ` e lo scostamento dovuto al rumore. Poich´ e l’insieme di tutte le relazioni possibili trax ey ` e enorme (` e l’insieme di tutte le funzioni y : R→ R),…