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Controlli Automatici (Prof. Casella) Prova scritta 1 Luglio 2013 SOLUZIONI Domanda 1 Con riferimento al sistema rappresentato in figura, enunciare con precisione il criterio di stabilità di Bode. Si supponga che la funzione di trasferimento L(s) abbia tutti i poli con parte reale non negativa e che il modulo della risposta in frequenza sia pari ad uno per un solo valore di frequenza ωc. detto pulsazione critica. Sia µL il guadagno della f.d.tt. L(s). Si definisca lo sfasamento critico ϕc = ∠L(jωc ) ed il margine di fase ϕm = 180° − |ϕc| Condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica stabilità del sistema ad anello chiuso è che µL > 0, ϕm > 0 Domanda 2 Pronunciarsi sulla stablità dei seguenti sistemi lineari: As. stabile Sempl. stabile Instabile s−1 s3 +10 s  x  s+ 1 s2 −s+3   x s−1 ( s+ 4)2 x   10 ( s2 + 4)  x  5 s2 +0.1s+ 0.01 x   1 2s2 −10s   x s+1 s3   x 1 s4 −1   x - L(s)- Domanda 3 Si consideri il seguente sistema lineare: ˙x1=−10 x1+ 2 u ˙x2=4 x1−5 x2 y1=x1 y2=−x1+α x2 , 3.1 Posto α = 2, calcolare le funzioni di trasferimento tra l'ingresso u e le uscite y1 e y2 del sistema, ponendole in forma guadagno/costanti di tempo G1( s)= 2 s+10= 0.2 1+ 0.1s G2(s)= 6−2s ( s+10)( s+5)=0.12 1−0.33s (1+0.1s)(1+0.2s) 3.2 Tracciare i diagrammi qualitativi delle risposte a scalino delle due f.d.t. sopra trovate. 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 - 0 . 0 8 - 0 . 0 6 - 0 . 0 4 - 0 . 0 2 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 S t e p R e s p o n s e T im e ( s e c ) A m p lit u d e 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 0 . 1 4 0 . 1 6 0 . 1 8 0 . 2 S t e p R e s p o n s e T im e ( s e c ) A m p lit u d e 3.3 Trovare il valore α che porta ad un valore finale nullo della risposta a scalino di y2. Per avere…