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Controlli Automatici – Prova scritta in itinere 3 maggio 2011 Soluzioni Domanda 1 Definire con precisione la funzione di trasferimento di un sistema dinamico lineare. Spiegare quindi come si possa valutare la stabilità degli equilibri del sistema sulla base di tale funzione. Vedere testo o dispense del corso. Domanda 2 Si consideri il sistema idraulico costituito da una condotta cilindrica orizzontale collegata all'ingresso ad una sorgente a pressione costante P0 ed all'uscita ad una valvola che scarica a pressione atmosferica Patm. Assumendo che il fluido sia incomprimibile e che le perdite di carico distribuite nella condotta siano trascurabili, la dinamica del sistema è descritta dalle equazioni della quantità di moto nella condotta e nella valvola: L A dw dt P1−P0=0 w=K v P1−Patm dove L è la lunghezza della condotta, A la sua sezione, w la portata che attraversa la condotta e la valvola, Kv il coefficiente (variabile) di efflusso della valvola e P1 la pressione all'uscita della condotta. Si chiede di: 1. Scrivere le equazioni di stato e di uscita del sistema, considerando Kv come variabile d'ingresso e w e P1 come variabili d'uscita. Dalla seconda equazione si ricava: w2 =K v 2 P1−Patm P1=Patm w2 K v 2 sostituendo nella prima ed esplicitando le derivate e le uscite in funzione di stati e ingressi si trova: dw dt = A L  P0−Patm− w2 K v 2  y1=w y2=Patm w2 K v 2 P0 P1 Patmw 2. Calcolare le condizioni di equilibrio del sistema. Annullando le derivate si trova: P1=P0 w= K v P0−Patm 3. Scrivere le equazioni linearizzate del sistema attorno a tale condizione di equilibrio. d  w dt =− 2A w L Kv 2  w 2A w2 L K v 3  K v  y1= w  y2= 2 w K v 2  w− 2 w2 K v 3  Kv 4. Calcolare la funzione di trasferimento tra le variazioni del coefficiente d'efflusso…