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Controlli Automatici (Prof. Casella) Prova in Itinere – 8 Maggio 2014 SOLUZIONI Domanda 1 Con rifermento a sistemi lineari tempo-invarianti, dimostrare che la connessione in cascata preserva la stabilità dei singoli componenti, mentre la connessione in retroazione non la preserva. Commentare le conseguenze di questo fatto sul progetto di sistemi di controllo in anello aperto piuttosto che in anello chiuso. La funzione di trasferimento di due blocchi A(s) = NA(s)/DA(s) e B(s) = NB(s)/DB(s) connessi in cascata vale F(s) = NA(s)NB(s)/DA(s)DB(s). Se A(s) e B(s) sono asintoticamente stabili, le radici di DA(s) e DB(s) hanno parte reale negativa, e quindi anche i poli di F(s) avranno parte reale negativa. Pertanto il sistema connesso in cascata sarà anch'esso asintoticamente stabile. Nel caso della connessione in retroazione, F(s) = NA(s)DB(s) / ( NA(s)NB(s)+DA(s)DB(s)). Sapendo che le radici di DA(s) e DB(s) hanno parte reale negativa, nulla si può dire in generale sulla posizione dei poli del polinomio caratteristico NA(s)NB(s)+DA(s)DB(s), e quindi sulla stabilità del sistema retroazionato. I sistemi di controllo in anello aperto richiedono solo connessioni in cascata tra il regolatore e il processo da controllare: se entrambi sono individualmente stabili, non si pongono problemi alla stabilità del sistema. Viceversa, la connessione in retroazione dei sistemi in anello chiuso può portare a problemi di stabilità anche nel caso che il processo e il regolatore siano individualmente stabili. D'altra parte, è possibile utilizzare regolatori in retroazione per stabilizzare sistemi instabili in anello aperto. Domanda 2 Definire con precisione la funzione di trasferimento di un sistema dinamico lineare descritto dalle sue quattro matrici di sistema A, B, C, D. La funzione di…