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Controlli Automatici (Prof. Casella) Prova in Itinere – 10 Maggio 2012 SOLUZIONE Domanda 1.1 Definire con precisione la stabilità esterna dell'equilibrio di un generico sistema dinamico. Dato un sistema dinamico con variabili di ingresso u e uscita y, sia ̄u , ̄y un equilibrio del sistema. Si applichi ora una perturbazione impulsiva di ampiezza ε all'ingresso. Se, per ogni A > 0, esiste δ > 0 tale che, comunque preso || ε|| < δ risulta ∥y(t)−̄y∥< A , allora l'equilibrio è stabile. Se inoltre limt →∞ y(t)=̄y , allora l'equilibrio è asintoticamente stabile. Negli altri casi, è instabile. Domanda 1.2 Pronunciarsi sulla stablità dei seguenti sistemi lineari: As. stabile Sempl. stabile Instabile s−1 s2 +10 s+20 x   s s2 +1  x  s ( s+1)2 x   s ( s2 +1)2   x 5 s4 −3s3 +2s−1   x 1 s( s−1)   x 1 s( s+1)  x  1 s2 (s+1)   x 1 s( s+1)2  x  Domanda 2 Si consideri un serbatoio pressurizzato di volume V contenente un gas, alimentato da un compressore che imprime una portata entrante wi e con una valvola di scarico di portata wu. Si assuma che il gas contenuto nel serbatoio compia una trasformazione politropica di indice k. Le equazioni che governano il sistema sono le seguenti: dM dt =wi−wu M =ρ V p ρ k =c wu=Av √ρ p dove M è la massa del gas contenuto nel serbatoio, ρ la sua densità, p la sua pressione, c una costante, Av il coefficiente di efflusso della valvola di scarico. 2.1 Scrivere le equazioni del sistema in forma spazio di stato, considerando wi e Av come ingressi, wu e p come uscite. E' possibile scegliere come variabile di stato una variabile tra M, ρ e p. Scelta, ad esempio, ρ ed esplicitando derivate degli stati ed uscite rispetto a stati ed ingressi, risulta: d ρ dt = 1 V (wi−Av √ cρ k+1 2 ) wu=Av √ cρ k+1 2 p=cρ k 2.2 Calcolare le condizioni di…