Teoremi e dimostrazioni

Pagina 1

Teoremi e Dimostrazioni Fisica | Federico Liuzzi pag. 1 Teoremi e Dimostrazioni Fisica - Modulo 1 Dinamica punto materiale Accelerazione in componenti tangenziali e normali alla traiettoria Considerando l’accelerazione come la derivata del vettore velocità, che sappiamo essere tangente alla traiettoria otteniamo: 𝑎⃗ = 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡(𝑣𝑢𝑇) = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑢𝑇 + 𝑣 𝑑𝑢𝑇 𝑑𝑡 = 𝑎𝑇𝑢𝑇 + 𝑣 |𝑑𝑠| 𝑑𝑡 1 𝜌 𝑢𝑁 = 𝑎𝑇⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑣2 𝜌 𝑢𝑁 Considerando che la derivata di un versore è perpendicolare al versore stesso con “ciclicità della mano destra”, che il versore 𝑢𝑇 ha modulo unitario, che il seno di un angolo infinitesimale è approssimabile all’angolo stesso otteniamo e 𝜌 come “raggio del cerchio osculatore”: |𝑑𝑠| = |𝑑𝑟⃗| = 𝜌 sin(|𝑑𝜗|) = 𝜌|𝑑𝜗|, 𝑑𝑢𝑇 𝑑𝑡 = 1 𝑑𝑡(|𝑢𝑇| sin(𝑑𝜗)) = 1 𝑑𝑡𝑑𝜗 = 1 𝑑𝑡 |𝑑𝑠| 𝜌 Velocità nel piano polare Considerando come v la derivata del vettore posizione otteniamo: 𝑣⃗ = 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡𝑟𝑢𝑟 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑢𝑟 + 𝑟 𝑑𝑢𝑟 𝑑𝑡 = 𝑣𝑟𝑢𝑟 + 𝑟𝑑𝜗(𝑢𝑧 × 𝑢𝑟) = 𝑣𝑟⃗⃗⃗⃗ + 𝜔⃗⃗⃗ × 𝑟⃗ Dove, ricordando le considerazioni della dim. Precedente e che il versore 𝑢𝑟 ha modulo unitario: 𝑑𝑢𝑟 𝑑𝑡 = 1 𝑑𝑡𝑢𝑟 sin(𝑑𝜗)𝑢𝜗 = 𝑑𝜗 𝑑𝑡 (𝑢𝑧 × 𝑢𝑟) Dove 𝑑𝜗 𝑑𝑡 𝑢𝑧 = 𝜔, una nuova grandezza che definiamo come velocità angolare istantanea (variazione dell’angolo nel tempo). Accelerazione nel piano polare Considerando v come la derivata temporale del vettore velocità, dal risultato precedente abbiamo ottenuto che 𝑣⃗ = 𝑣𝑟⃗⃗⃗⃗ + 𝜔⃗⃗⃗ × 𝑟⃗ 𝑎⃗ = 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡(𝑣𝑟⃗⃗⃗⃗ + 𝜔⃗⃗⃗ × 𝑟⃗) = 𝑑𝑣𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑡 + 𝑑𝜔⃗⃗⃗ 𝑑𝑡 × 𝑟⃗ + 𝜔⃗⃗⃗ × 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑡 = 𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝜔⃗⃗⃗ × 𝑣𝑟⃗⃗⃗⃗ + 𝑑𝜔⃗⃗⃗ 𝑑𝑡 × 𝑟⃗ + 𝜔⃗⃗⃗ × 𝑣𝑟⃗⃗⃗⃗ + 𝜔⃗⃗⃗ × (𝜔⃗⃗⃗ × 𝑟⃗) Dove: 𝑑𝑣𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑣𝑟 𝑑𝑡 𝑢𝑟 + 𝑣𝑟 𝑑𝑢𝑟 𝑑𝑡 = 𝑎𝑟𝑢𝑟 + 𝑣𝑟 𝑑𝜗 𝑑𝑡 𝑢𝜗 = 𝑎𝑟𝑢𝑟 + 𝑣𝑟 𝑑𝜗 𝑑𝑡 (𝑢𝑧 × 𝑢𝑟) = 𝑎𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝜔⃗⃗⃗ × 𝑣𝑟⃗⃗⃗⃗ E, come visto nei risultati precedenti: 𝜔⃗⃗⃗ × 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑡 = 𝜔⃗⃗⃗ × (𝑣𝑟⃗⃗⃗⃗ + 𝜔⃗⃗⃗ × 𝑟⃗) = 𝜔⃗⃗⃗ × 𝑣𝑟⃗⃗⃗⃗ + 𝜔⃗⃗⃗ × (𝜔⃗⃗⃗ × 𝑟⃗) In conclusione: 𝑎⃗ =…